matematikk.net

Hei!

Har et par deloppgaver jeg ikke får til:

d) Bruk formelen [tex]O=2\pi \ \int\limits_{a}^{b} y*\sqrt{1+(y^\prime)^2} dx[/tex] til å vise at overflaten av en kule med radius r er [tex]4\pi r^2[/tex], ta utgangspunkt i en halvsirkel plassert i et koordinatsystem.(skjærer x-aksen i -r og i r, y-aksen i y=r).

e) En marsipankule dekt med sjokolade blir skåret i skiver med samme tykkelse. Vis at alle skivene får like stor sjokoladeflate (i oppgaven sto det faktisk sjokoladeplate , for en mattebok...)

I d) prøvde jeg med (med forbehold om at jeg kan ha skrevet utregningene mine feil inn her og riktig i skriveboken):

Ligningen for halvsirkelen er [tex]y^2+x^2=r^2[/tex], dvs. [tex]y=\sqrt{r^2-x^2}[/tex], setter dette og grensene -r og r inn i uttrykket for O, får da:

[tex]O=2\pi \ \int\limits_{-r}^{r} sqrt{r^2-x^2}*\sqrt{1+((sqrt{r^2-x^2})^\prime)^2} dx=2\pi \ \int\limits_{-r}^{r} sqrt{r^2-x^2}*\sqrt{1+(((r^2-x^2)^{\frac 12})^\prime)^2} dx=2\pi \ \int\limits_{-r}^{r} sqrt{r^2-x^2}*\sqrt{1+(\frac 12(r^2-x^2)^{-\frac 12}))^2} dx=2\pi \ \int\limits_{-r}^{r} sqrt{r^2-x^2}*\sqrt{1+(\frac 14(r^2-x^2)^{-1})} dx=2\pi \ \int\limits_{-r}^{r} sqrt{r^2-x^2+\frac 14(\frac{r^2-x^2}{r^2-x^2})} dx=2\pi \ \int\limits_{-r}^{r} sqrt{r^2-x^2+\frac 14} dx=2\pi \ \int\limits_{-r}^{r} (r^2-x^2+\frac 14)^{\frac 12} dx=[/tex]

Synes ikke dette ser riktig ut, så kan noen si meg hva jeg har gjort feil??

I e) skal jeg vel bruke noe sånt som at integrallet er summen av alle de tynne skivene, og overflatene deres er like store, eller?

d)
jeg orker ikke skrive alt her, men ser ut som om du har glemt kjerneregelen. -2x kommer under rottegnet også. til slutt etter forkortinger etc ender du opp med:

[tex]\sqrt{1+(y^,)^2}={r\over y}[/tex]

slik at:

[tex]O=2\pi\int_{-r}^{r}y\,{r\over y}\,dx= 2\pi r\int_{-r}^{r}\,dx=4\pi r^2[/tex]
========================
e)
greia her er at arealet ikke er avhengig av hvor man begynner å skjære. Arealet er bare avhengig av radien og bredden.

Janhaa wrote:d)
jeg orker ikke skrive alt her, men ser ut som om du har glemt kjerneregelen. -2x kommer under rottegnet også. til slutt etter forkortinger etc ender du opp med:

[tex]\sqrt{1+(y^,)^2}={r\over y}[/tex]

slik at:

[tex]O=2\pi\int_{-r}^{r}y\,{r\over y}\,dx= 2\pi r\int_{-r}^{r}\,dx=4\pi r^2[/tex]
========================
e)
greia her er at arealet ikke er avhengig av hvor man begynner å skjære. Arealet er bare avhengig av radien og bredden.

Nå har jeg prøvd å fikse det i min skrivebok, og får da: [tex]\sqrt{1+(y^,)^2}=\sqrt{1+\frac {x^2}{r^2-x^2}[/tex], men kan det forkortes til [tex]{r\over y}[/tex] Hvis ikke får jeg se over enda mer...

Nå har jeg prøvd å fikse det i min skrivebok, og får da: [tex]\sqrt{1+(y^,)^2}=\sqrt{1+\frac {x^2}{r^2-x^2}[/tex], men kan det forkortes til [tex]{r\over y}[/tex] Hvis ikke får jeg se over enda mer...

stemmer dette:

[tex]\sqrt{1+(y^,)^2}=\sqrt{1+\frac {x^2}{r^2-x^2}}= \sqrt{\frac {r^2-x^2+x^2}{r^2-x^2}}= \sqrt{\frac{r^2}{y^2}}={r\over y}[/tex]

Hei!

Takk for at du satte meg på sporet igjen Janhaa
Jeg fant ut i går kveld (rundt midnatt) at, og hvordan det gikk an å forkorte det.

Tror jeg poster løsningen min her, for jeg så når jeg googlet at det ikke fantes en helt fullstendig løsning noe sted, i hvert fall ikke på norsk. (De fleste, også på mange engelske sider, hoppet bukk over ett eller annet trinn for å få det de visste de skulle ha til slutt).

Og siden jeg har som mål å publisere det mest fullstendige løsningsforslaget på norsk for å bevise at overflaten av en kule er [tex]4\pi r^2[/tex], må dere bare gi beskjed hvis dere finner noen feil i det ... :

Formelen jeg starter ut med, er: [tex]O=2\pi \ \int\limits_{a}^{b} y*\sqrt{1+(y^\prime)^2} \ dx[/tex] Vi har at y[sup]2[/sup]+x[sup]2[/sup]=r[sup]2[/sup], da må vi finne y: y[sup]2[/sup]=r[sup]2[/sup]-x[sup]2[/sup] , dvs. at [tex]y=\sqrt{r^2-x^2}[/tex]. Halvsirkelen dette er ligningen for, skjærer x-aksen i -r og i r, dermed er nedre grense -r, og øvre grense r.

Vi setter inn i formelen for O, og får:
[tex]O=2\pi \ \int\limits_{a}^{b} y*\sqrt{1+(y^\prime)^2} \ dx=2\pi \ \int\limits_{-r}^{r} \sqrt{r^2-x^2}*\sqrt{1+((\sqrt{r^2-x^2})^\prime)^2} \ dx[/tex]

For å forenkle derivasjonen, skriver vi kvadratroten som "opphøyd i 1/2", og kan da bruke potensregelen og kjerneregelen til å derivere y, vi får:

[tex]2\pi \ \int\limits_{-r}^{r} \sqrt{r^2-x^2}*\sqrt{1+((({r^2-x^2})^{\frac 12})^\prime)^2} \ dx=2\pi \ \int\limits_{-r}^{r} \sqrt{r^2-x^2}*\sqrt{1+(\frac 12*-2x*({r^2-x^2})^{\frac 12 -1})^2} \ dx[/tex] Vi kan da stryke 2-tallene i -2x* 1/2, slik at vi får x der, og i tillegg har vi at 1/2 -1=-1/2. Vi setter dette inn i uttrykket for O og opphøyer i 2:

[tex]2\pi \ \int\limits_{-r}^{r} \sqrt{r^2-x^2}*\sqrt{1+(\frac 12*-2x*({r^2-x^2})^{\frac 12 -1})^2} \ dx=2\pi \ \int\limits_{-r}^{r} \sqrt{r^2-x^2}*\sqrt{1+(-x*({r^2-x^2})^{-\frac 12})^2} \ dx=2\pi \ \int\limits_{-r}^{r} \sqrt{r^2-x^2}*\sqrt{1+(-x)^2*(({r^2-x^2})^{-\frac 12})^2} \ dx=2\pi \ \int\limits_{-r}^{r} \sqrt{r^2-x^2}*\sqrt{1+x^2*({r^2-x^2})^{-\frac 12 *2}} \ dx=2\pi \ \int\limits_{-r}^{r} \sqrt{r^2-x^2}*\sqrt{1+x^2*({r^2-x^2})^{-1}} \ dx[/tex]. Så forenkler vi dette uttrykket trinn for trinn:

[tex]2\pi \ \int\limits_{-r}^{r} \sqrt{r^2-x^2}*\sqrt{1+\frac {x^2}{r^2-x^2}} \ dx=2\pi \ \int\limits_{-r}^{r} \sqrt{r^2-x^2}*\sqrt{\frac {r^2-x^2}{r^2-x^2}+\frac {x^2}{r^2-x^2}} \ dx=2\pi \ \int\limits_{-r}^{r} \sqrt{r^2-x^2}*\sqrt{\frac {r^2-x^2+x^2}{r^2-x^2}} \ dx=2\pi \ \int\limits_{-r}^{r} \sqrt{r^2-x^2}*\sqrt{\frac {r^2}{r^2-x^2}} \ dx=2\pi \ \int\limits_{-r}^{r} \sqrt{r^2-x^2}*\frac {\sqrt{r^2}}{\sqrt{r^2-x^2}} \ dx=2\pi \ \int\limits_{-r}^{r} \sqrt{r^2-x^2}*\frac {r}{\sqrt{r^2-x^2}} \ dx[/tex]. Da står vi igjen med at:

[tex]2\pi \ \int\limits_{-r}^{r} \sqrt{r^2-x^2}*\frac {r}{\sqrt{r^2-x^2}} \ dx=2\pi \ \int\limits_{-r}^{r} \ r \ dx[/tex]. Og integralet av dette blir:

[tex]2\pi \ \int\limits_{-r}^{r} \ r \ dx=2\pi * \left[rx \right]_{-r}^{r}=2\pi * (r*r-(r*(-r)))=2\pi * (r^2+r^2)=2\pi*(2r^2)=4\pi r^2[/tex].
Og dermed er vi i mål...

Ser dette bra ut ??? Håper det

Det ser bra ut dette