Differensialligning - integrerende faktor

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Post Reply
mstud
Grothendieck
Grothendieck
Posts: 825
Joined: 14/02-2011 15:08
Location: Matteboken (adresse kun gyldig i semesteret) :)

Hei!

Har en oppgave som lyder slik:
Løs ligningen [tex]y^{\prime} + 2y=4x[/tex]

Fordi boken min kun har vist hvordan jeg løser ligninger der x ikke inngår, er det enkle spørsmålet mitt: Hva skal jeg gjøre med ligningen når det står 4x, og ikke f.eks 4?

(svaret skal bli [tex]y=2x-1+C*e^{-2x}[/tex])

Trenger bare et lite hint.....
Det er bedre å stille et spørsmål og ikke få et svar, enn å ikke stille et spørsmål og ikke få et svar.

Det aller beste er enten:
å stille et spørsmål og få et svar
eller
å ikke stille et spørsmål og få et svar.
Razzy
Grothendieck
Grothendieck
Posts: 819
Joined: 20/09-2010 14:23
Location: Bergen

Før du begynner å se igjennom hva jeg har skrevet, må du vite at jeg ikke klarte å løse oppgaven din... :P

Men poenget er at det bare skal være å kjøre på, å forsøke å holde y på den ene siden og x på den andre.

(vil igjen påpeke at jeg holder på meg slik type regning og er ikke helt trygg)

[tex]$${y^\prime } + 2y = 4x$$[/tex]

[tex]$${y^\prime } = 4x - 2y$$[/tex]

[tex]$${y^\prime } * - {1 \over {2y}} = 4x$$[/tex]

[tex]$$ - {1 \over 2}\int {{1 \over y}dy = 4\int x } dx$$[/tex]

[tex]$$ - {1 \over 2}\ln \left| y \right| = 4 * {1 \over 2}{x^2} + {C_1}$$[/tex]

[tex]$${1 \over 2}\ln \left| y \right| = - 2{x^2} + {C^\prime }$$[/tex]

[tex]$${e^{{1 \over 2}\ln \left| y \right|}} = {e^{ - 2{x^2} + {C^\prime }}}$$[/tex]

[tex]$${1 \over 2}\left| y \right| = {e^{ - 2{x^2}}} * {e^{{C^\prime }}}$$[/tex]

[tex]$$y = 2C{e^{ - 2{x^2}}}$$[/tex]
Bygg.ing @ Hib - 2 året.
Vektormannen
Euler
Euler
Posts: 5889
Joined: 26/09-2007 19:35
Location: Trondheim
Contact:

Du gjør en feil i overgangen fra linje 2 til 3. Når du deler på -2y på begge sider av ligningen så får du ikke det du har i linje 3, men [tex]y^\prime \cdot \frac{-1}{2y} = \frac{-4x}{2y} - 1[/tex]. Det hjelper deg ikke stort på vei.

Angående det mstud lurer på: Det er ingen forskjell på om det står 4 eller 4x. Det du uansett skal gjøre er å gange med den integrerende faktoren på begge sider av ligningen. Hva er integrerende faktor her?
Elektronikk @ NTNU | nesizer
Razzy
Grothendieck
Grothendieck
Posts: 819
Joined: 20/09-2010 14:23
Location: Bergen

Vektormannen wrote:Du gjør en feil i overgangen fra linje 2 til 3. Når du deler på -2y på begge sider av ligningen så får du ikke det du har i linje 3, men [tex]y^\prime \cdot \frac{-1}{2y} = \frac{-4x}{2y} - 1[/tex]. Det hjelper deg ikke stort på vei.
Hva ville vært det riktige å gjøre her, istede for det jeg altså gjorde?
Bygg.ing @ Hib - 2 året.
mstud
Grothendieck
Grothendieck
Posts: 825
Joined: 14/02-2011 15:08
Location: Matteboken (adresse kun gyldig i semesteret) :)

Den integrerende faktoren er [tex]e^{2x}[/tex], er det riktig?

Men da får jeg:

[tex]y^{\prime}+2y=4x[/tex]

[tex]y^{\prime}*e^{2x}+2y*e^{2x}=4x*e^{2x}[/tex]

[tex]\frac {d(e^{2x}y)}{dx}=4x*e^{2x}[/tex] Integrerer begge sider:

[tex]e^{2x}y=4x*1/2 *e^{2x}-4*1/2*\int e^{2x}=2x*e^{2x}-e^{2x}+C[/tex] Deler på e^2x:

[tex]y=2x-1+\frac{C}{e^2x}[/tex] som jo er ganske forskjellig fra fasitsvaret ...

Lurer på om integrerende faktor skulle vært noe annet? Men hvordan skal jeg finne den som noe annet?
Men boken min står det at [tex]y^{\prime}+ay=b[/tex] har integrerende faktor e^{ax}... Så hva er det da som er feil?
Det er bedre å stille et spørsmål og ikke få et svar, enn å ikke stille et spørsmål og ikke få et svar.

Det aller beste er enten:
å stille et spørsmål og få et svar
eller
å ikke stille et spørsmål og få et svar.
Vektormannen
Euler
Euler
Posts: 5889
Joined: 26/09-2007 19:35
Location: Trondheim
Contact:

Det er riktig. Når du da ganger med dette på begge sider i ligningen så får du at du må løse integralet [tex]xe^{2x}[/tex] på høyre side, som bør gå greit med delvis integrasjon.

edit: ser du endret på posten. Hvordan er svaret ditt forskjellig fra fasitsvaret?
Elektronikk @ NTNU | nesizer
mstud
Grothendieck
Grothendieck
Posts: 825
Joined: 14/02-2011 15:08
Location: Matteboken (adresse kun gyldig i semesteret) :)

:oops: Å, blir det bare: [tex]\frac {C}e^{2x}=C*e^{-2x}[/tex]

Da ble det jo riktig da, eller?
Det er bedre å stille et spørsmål og ikke få et svar, enn å ikke stille et spørsmål og ikke få et svar.

Det aller beste er enten:
å stille et spørsmål og få et svar
eller
å ikke stille et spørsmål og få et svar.
Vektormannen
Euler
Euler
Posts: 5889
Joined: 26/09-2007 19:35
Location: Trondheim
Contact:

Ja, det stemmer at [tex]\frac{C}{e^{2x}} = Ce^{-2x}[/tex] (antar det var dette du mente?)
Elektronikk @ NTNU | nesizer
mstud
Grothendieck
Grothendieck
Posts: 825
Joined: 14/02-2011 15:08
Location: Matteboken (adresse kun gyldig i semesteret) :)

Ja, ble bare litt feil i tex-en
Det er bedre å stille et spørsmål og ikke få et svar, enn å ikke stille et spørsmål og ikke få et svar.

Det aller beste er enten:
å stille et spørsmål og få et svar
eller
å ikke stille et spørsmål og få et svar.
Razzy
Grothendieck
Grothendieck
Posts: 819
Joined: 20/09-2010 14:23
Location: Bergen

Jeg wrote:[tex]$${y^\prime } + 2y = 4x$$[/tex]

[tex]$${y^\prime } = 4x - 2y$$[/tex]

[tex]$${y^\prime } * - {1 \over {2y}} = 4x$$[/tex]
Jeg ser nå at dette er galt, men hva ville vært det riktige sjakktrekke å gjøre her? Har forsøkt å faktorisere osv, men da henger liksom x-sen på der den ikke skal.
Bygg.ing @ Hib - 2 året.
mstud
Grothendieck
Grothendieck
Posts: 825
Joined: 14/02-2011 15:08
Location: Matteboken (adresse kun gyldig i semesteret) :)

For å løse den uten integrerende faktor,

Går f.eks an å skrive det som:

[tex]x*\frac {y^{\prime}}x+\frac {2y}x=4[/tex],

men vet ikke om det hjelper... Vi hadde nok trengt en Vektormanns kunnskap, det ville i hvert fall ha hjulpet ... :)

Ellers tror kanskje jeg det skal kunne gå an å løse [tex]\frac {dy}{dx}+2y=4x[/tex] uten å skrive om noe særlig, eller?

edit: rettet skrivefeil i uttrykket
Det er bedre å stille et spørsmål og ikke få et svar, enn å ikke stille et spørsmål og ikke få et svar.

Det aller beste er enten:
å stille et spørsmål og få et svar
eller
å ikke stille et spørsmål og få et svar.
mstud
Grothendieck
Grothendieck
Posts: 825
Joined: 14/02-2011 15:08
Location: Matteboken (adresse kun gyldig i semesteret) :)

Går det f.eks. an å bruke denne: [tex]\frac{df}{dx}=\frac {df}{dy} * \frac {dy}{dx}[/tex] direkte?

Er ikke kommet til dette helt ennå, men bare lurte...
Det er bedre å stille et spørsmål og ikke få et svar, enn å ikke stille et spørsmål og ikke få et svar.

Det aller beste er enten:
å stille et spørsmål og få et svar
eller
å ikke stille et spørsmål og få et svar.
Razzy
Grothendieck
Grothendieck
Posts: 819
Joined: 20/09-2010 14:23
Location: Bergen

Hei

La ut oppgaven igjen, kanskje vi får bedre respons på den da.

Aner ikke om det går an det du spør om... :P

We'll soon find out... :D
Bygg.ing @ Hib - 2 året.
mstud
Grothendieck
Grothendieck
Posts: 825
Joined: 14/02-2011 15:08
Location: Matteboken (adresse kun gyldig i semesteret) :)

Så det, 1. forslaget ditt til omskriving var feil...
Det er bedre å stille et spørsmål og ikke få et svar, enn å ikke stille et spørsmål og ikke få et svar.

Det aller beste er enten:
å stille et spørsmål og få et svar
eller
å ikke stille et spørsmål og få et svar.
Razzy
Grothendieck
Grothendieck
Posts: 819
Joined: 20/09-2010 14:23
Location: Bergen

mstud wrote:Så det, 1. forslaget ditt til omskriving var feil...
Tror jeg retta det til det riktige nå, se selv :P hehe, men så langt lengre gikk det ikke...
Bygg.ing @ Hib - 2 året.
Post Reply