matematikk.net

Vektoren unit t<angent vektor T som er [tex]\frac{v}{|v|}[/tex]
og vektoren principal unit normal vektor [tex]N=\frac{dT/dt}{|dT/dt|}[/tex]

Står notmalt på hvernadre. Kryssproduktet av dem gir en vektor B

som har konstant lengde

Deriverer vi vektoren B får vi fra def av derivering av kryssprodukt

[tex]\frac{dB}{ds}=\mathbf{\frac{dT}{ds}} \times \mathbf{N}+\mathbf{T} \times \mathbf{\frac{dN}{ds}}[/tex]

N kan og skrives som

[tex]N=\frac{1}{\kappa}\frac{dT}{ds}[/tex]



derfor er dT\ds og N parallelle og

og den deriverte av B forenkles til:

[tex]\frac{dB}{ds}=\mathbf{T} \times \mathbf{\frac{dN}{ds}}[/tex]

B må være ortogonal til T fra def av kryssprodukt

I boka står det at [tex]\frac{dB}{ds}[/tex] er ortogonal til B. Hvorfor det?

N og T er altså den tangentielle og normale komponenten til akselrasjon.

Her er et bilde av vektorene

http://bildr.no/view/842977

Her er utdrag fra boka angående B og dB/ds:

http://bildr.no/view/842979

Ettersom T er definert til å ha konstant lengde 1, vil N være vinkelrett på T, og slik N er definert har den konstant lengde 1. Følgelig vil kryssproduktet deres, B, ha konstant lengde 1. Ser du nå hvorfor B og dB/ds er ortogonale?

Hvis du allerede vet at [tex]B[/tex] alltid har konstant lengde (her tilfeldigvis lik 1), så vet du automatisk at den deriverte ikke kan ha en komponent som er parallell med [tex]B[/tex] selv --- altså, [tex]\frac{dB}{dS}[/tex] må være normal til [tex]B[/tex].

Hvis [tex]\frac{dB}{dS}[/tex] hadde hatt en komponent parallell med [tex]B[/tex], så ville det vært en endring i [tex]B[/tex] som forandrer lengden på [tex]B[/tex], men dette vet vi at ikke er tilfellet.

jeg tar opp et av mine gamle gode temaer her:)

Lengden på B forandres aldri og er alltid 1 fra def kryssprodukt:


TxN=|N||T|sinx n

derfor vil den aldri øke i lengderetning i et lite moment t. Men den kan forandre retning til begge sider. Tror det jeg lurer på er at hvis jeg skal skjønne dette herre her så må jeg tenke sånn at den deriverte gir forandring av lengde i et lite moment av et instant og da vil ingen forandring skje i lengde til B men i andre retninger vil den forandre seg eller svinge. Dette er sikkert filosofering for mange men. Hvis noen vil forklare fundamental forståelde av derivering så vær se god:)