Definisjonen for interior points og boundary points for tre dimensjoner:
Et interior punkt i i rommet er i midten av en ball med radius r som ligger fullstendig i definisjonsområdet. Boundary point er et punkt hvor en ball med sentrum i punktet og radius r har punkter som ligger utenfor definisjonsområdet.
Interior til definisjonsområdet er settet av interior points. Boundary til definisjonsområdet er settet av boundaries til definisjonsområdet. Et område er open hvis det består av bare av interior punkter. Et område er lukket hvis det inneholder alle punkter som er boundaries.
En kule med deler av boundarien fjernet er ikke open eller closed.
Mente dette skulle være gangbart men skjønte ikke videre eksemplene:
Eksempler på open sett er det indre området til en kule (høres greit ut), det åpne halvrommet z>o (her tenkte jeg at det var greit siden det var et open rom) og rommet selv (her tenkte jeg og at noen punkter måtte være boundaries siden det ikke var definert som open kanskje litt pirk?)
Eksempler på lukkede sett er linjer (hvordan kan alle punkter som er boundaries være på en linje tenkte jeg?) planes (hvordan kan alle punkter som er boundaries være i et plan tenkte jeg?) og closed halfspace [tex]z\geq[/tex]0 (men hvirdan er alle boundaries i halvrommet?)
Her er tekst fra boka:
http://bildr.no/view/843732
interior og boundary points
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
open=åpen
closed=lukket
boundary=grense
interior point= indrepunkt
Prøv å vis at de mengdene er åpne og lukkede. Da får du antagelig mer innsikt i begrepene.
En linje, kalt l, som en delmengde av f.eks. R^2, er lukket fordi komplementet er åpent. For å vise at en mengde er åpen må man vise at det for ethvert punkt i mengden eksisterer en kule med positiv radius som er inneholdt i mengden selv.
Prøv f.eks. å vise at linjen y=x i planet er lukket.
Eksempel på bevis:
Mengden (-1,1) (intervallet fra -1 til 1 i R minus punktene -1 og 1) er åpen: La x være et vilkårlig punkt i denne mengden. Da må |x|<1. Velg en 1-dimensjonal kule om punktet x med radius (1-|x|)/2. Da vil denne kula være inneholdt i mengden.
closed=lukket
boundary=grense
interior point= indrepunkt
Prøv å vis at de mengdene er åpne og lukkede. Da får du antagelig mer innsikt i begrepene.
En linje, kalt l, som en delmengde av f.eks. R^2, er lukket fordi komplementet er åpent. For å vise at en mengde er åpen må man vise at det for ethvert punkt i mengden eksisterer en kule med positiv radius som er inneholdt i mengden selv.
Prøv f.eks. å vise at linjen y=x i planet er lukket.
Eksempel på bevis:
Mengden (-1,1) (intervallet fra -1 til 1 i R minus punktene -1 og 1) er åpen: La x være et vilkårlig punkt i denne mengden. Da må |x|<1. Velg en 1-dimensjonal kule om punktet x med radius (1-|x|)/2. Da vil denne kula være inneholdt i mengden.