Ubestemt integral - unknown

[Razzy]

[tex]$$\int {{{{e^{\sqrt x }}} \over {\sqrt x }}} dx \Leftrightarrow \int {{1 \over {\sqrt x }}{e^{\sqrt x }}dx} \Leftrightarrow \int {{{\left( {\sqrt x } \right)}^{ - 1}}} {e^{\sqrt x }}dx$$[/tex]

Har forsøkt å omskrive det, slik at jeg kan bruke delvis integrasjons metoden?

Vil [tex]$${{e^{\sqrt x }}}$$[/tex] gå under samme prinsipp som [tex]$${e^x}$$[/tex]? Altså at den blir det samme om du deriverer, integrerer osv...

[mstud]

Hei!

Husk at [tex]\sqrt x=x^{\frac 12}[/tex], og så bruker du potensregelen.

Når du da skal integrere e^(x^(1/2)), kan du bruke at e^u = e^u og gange med den deriverte av u, hvis ikke jeg tuller tidlig på morgenen
Er ikke så tidlig nå forresten...

[Razzy]

Hei!

Husk at [tex]\sqrt x=x^{\frac 12}[/tex], og så bruker du potensregelen.

Når du da skal integrere e^(x^(1/2)), kan du bruke at e^u = e^u og gange med den deriverte av u, hvis ikke jeg tuller tidlig på morgenen
Er ikke så tidlig nå forresten...

Hehe, nei er vel ikke så tidlig nå lengre, tiden flyyr når man holder på med matte

Har lenge lurt på, har du noen gang kombinert substitusjon med delvis integrasjon? Eller må man skulle mellom de to? (nå tuller jeg sikkert)

For det var det du foreslo ovenfor? At jeg skulle bruke substitusjon (variabel skifte) samtidig som jeg bruker delvis integrasjon?

[mstud]

Det skal gå fint å bruke begge deler på en gang, bare du først tar den ene og så den andre, ellers kan det nok bli mye rot ...


Og det vil du vel ikke ha...

Jeg har for eksempel hatt en gjenganger i mine matte oppgaver; Integrer [tex]x \cdot e^{x^2}[/tex], og den tror jeg ikke du heller ville løst uten å bruke både substitusjon og delvis integrasjon.

Hvis du ikke ser hvordan man bruker begge deler, får jeg prøve å forklare, for slike oppgaver kan du altså godt komme til å møte flere av ...

[Razzy]

Det skal gå fint å bruke begge deler på en gang, bare du først tar den ene og så den andre, ellers kan det nok bli mye rot ...


Og det vil du vel ikke ha...

Jeg har for eksempel hatt en gjenganger i mine matte oppgaver; Integrer [tex]x \cdot e^{x^2}[/tex], og den tror jeg ikke du heller ville løst uten å bruke både substitusjon og delvis integrasjon.

Hvis du ikke ser hvordan man bruker begge deler, får jeg prøve å forklare, for slike oppgaver kan du altså godt komme til å møte flere av ...

[tex]$$\int {{{{e^{\sqrt x }}} \over {\sqrt x }}} dx \Leftrightarrow \int {{1 \over {\sqrt x }}{e^{\sqrt x }}dx} \Leftrightarrow \int {{{\left( {\sqrt x } \right)}^{ - 1}}} {e^{\sqrt x }}dx \Leftrightarrow \int {{x^{ - {{^1} \over 2}}}} {e^{{x^{{1 \over 2}}}}}dx$$[/tex]

Jeg er klar til å bruke delvis integrasjon...

[tex]$$\int {{x^{ - {{^1} \over 2}}}} {e^{{x^{{1 \over 2}}}}}dx = 2{x^{{1 \over 2}}} \cdot {e^u} - \int {2{x^{{1 \over 2}}}} {e^u}dx$$[/tex]

Her har jeg satt [tex]$$u = {x^{{1 \over 2}}}$$[/tex] og derfor blir [tex]$$u^\prime = {1 \over 2}{x^{ - {1 \over 2}}}$$[/tex]. Videre får jeg, [tex]$${{dy} \over {dx}} = {1 \over 2}{x^{ - {1 \over 2}}}$$[/tex] som er [tex]$$dy = {1 \over 2} \cdot {1 \over {\sqrt x }}dx$$[/tex] og til slutt: [tex]$$dx = 2\sqrt x dy$$[/tex]

[tex]$$\int {{x^{ - {{^1} \over 2}}}} {e^{{x^{{1 \over 2}}}}}dx = 2\sqrt x \cdot {e^u} - 2\int {{x^{{1 \over 2}}}} {e^u}dx$$[/tex]

To spørsmål når jeg har kommet hit. Jeg har lov til å flytt 2 utenfor integrasjonstegnet, til tross for at det ikke er faktor i begge ledd? Ble plutselig veldig usikker...

Det andre jeg lurer på er om jeg nå må foreta enda en delvis integrasjon på integrasjons uttrykket til høyre: [tex]$$\int {{x^{{1 \over 2}}}} {e^u}dx$$[/tex]

[mstud]

Det skal gå fint å bruke begge deler på en gang, bare du først tar den ene og så den andre, ellers kan det nok bli mye rot ...


Og det vil du vel ikke ha...

Jeg har for eksempel hatt en gjenganger i mine matte oppgaver; Integrer [tex]x \cdot e^{x^2}[/tex], og den tror jeg ikke du heller ville løst uten å bruke både substitusjon og delvis integrasjon.

Hvis du ikke ser hvordan man bruker begge deler, får jeg prøve å forklare, for slike oppgaver kan du altså godt komme til å møte flere av ...

[tex]$$\int {{{{e^{\sqrt x }}} \over {\sqrt x }}} dx \Leftrightarrow \int {{1 \over {\sqrt x }}{e^{\sqrt x }}dx} \Leftrightarrow \int {{{\left( {\sqrt x } \right)}^{ - 1}}} {e^{\sqrt x }}dx \Leftrightarrow \int {{x^{ - {{^1} \over 2}}}} {e^{{x^{{1 \over 2}}}}}dx$$[/tex]

Jeg er klar til å bruke delvis integrasjon...

[tex]$$\int {{x^{ - {{^1} \over 2}}}} {e^{{x^{{1 \over 2}}}}}dx = 2{x^{{1 \over 2}}} \cdot {e^u} - \int {2{x^{{1 \over 2}}}} {e^u}dx$$[/tex]

Her har jeg satt [tex]$$u = {x^{{1 \over 2}}}$$[/tex] og derfor blir [tex]$$u^\prime = {1 \over 2}{x^{ - {1 \over 2}}}$$[/tex]. Videre får jeg, [tex]$${{dy} \over {dx}} = {1 \over 2}{x^{ - {1 \over 2}}}$$[/tex] som er [tex]$$dy = {1 \over 2} \cdot {1 \over {\sqrt x }}dx$$[/tex] og til slutt: [tex]$$dx = 2\sqrt x dy$$[/tex]

[tex]$$\int {{x^{ - {{^1} \over 2}}}} {e^{{x^{{1 \over 2}}}}}dx = 2\sqrt x \cdot {e^u} - 2\int {{x^{{1 \over 2}}}} {e^u}dx$$[/tex]

To spørsmål når jeg har kommet hit. Jeg har lov til å flytt 2 utenfor integrasjonstegnet, til tross for at det ikke er faktor i begge ledd? Ble plutselig veldig usikker... Ja, det har du uansett, for alt som står bak det integraltegnet er på et vis ganget med to når du har et uttrykk på formen {2*v*w}
Det andre jeg lurer på er om jeg nå må foreta enda en delvis integrasjon på integrasjons uttrykket til høyre: [tex]$$\int {{x^{{1 \over 2}}}} {e^u}dx$$[/tex]

Ja, du må nok det, men nå har du, noe du ser hvis du substituerer tilbake for u:
[tex]\int {{x^{{1 \over 2}}}} {e^u}dx=\int u \cdot e^u[/tex], så det bør bli enda enklere å løse med substitusjon osv. ...

edit: Tok vekk dollar, dollar, for du blir ikke så rik enda om du får til denne oppgaven, men kanskje om noen år at du blir rikere nettopp av den grunnn

[Andreas345]

Du trenger kun å bruke variabelskifte.

[tex]\int \frac{ e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx [/tex]

[tex]u=sqrt{x}[/tex]

[tex]du=\frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}}dx[/tex]

[tex]\int \frac{e^{u}}{\sqrt{x}} dx \Rightarrow \int {e^{u}\cdot \frac{2}{2\cdot sqrt{x}} dx[/tex]

[tex]\int {e^{u}\cdot 2 du=2\cdot e^{u}+C=2\cdot e^{\sqrt{x}}+C[/tex]

Hvordan ville du eventuelt ha gått fram på

[tex]\int \frac{1}{1+sqrt{x}} \ dx[/tex]

?

[Razzy]

Ja, det har du uansett, for alt som står bak det integraltegnet er på et vis ganget med to når du har et uttrykk på formen {2*v*w}

Av og til må man bare få ting på plass i hodet ett hundre ganger før det sitter

[tex]$$\left( {2 \cdot x \cdot {e^x}} \right) \Leftrightarrow 2\left( {x \cdot {e^x}} \right) \Leftrightarrow \left( {2x \cdot 2{e^x}} \right)?$$[/tex]

[tex]$$\left( {2 \cdot x \cdot {e^x}} \right) \ne 2\left( {x \cdot {e^x}} \right)?$$[/tex]

[mstud]

Ja, stemmer det !

Jeg tror jeg så for mye på omskrivingen til Razzy i steden for på det opprinnelige integralet han skulle løse

[Razzy]

Du trenger kun å bruke variabelskifte.

[tex]\int \frac{ e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx [/tex]

[tex]u=sqrt{x}[/tex]

[tex]du=\frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}}dx[/tex]

[tex]\int \frac{e^{u}}{\sqrt{x}} dx \Rightarrow \int {e^{u}\cdot \frac{2}{2\cdot sqrt{x}} dx[/tex]

[tex]\int {e^{u}\cdot 2 du=2\cdot e^{u}+C=2\cdot e^{\sqrt{x}}+C[/tex]

Hvordan ville du eventuelt ha gått fram på

[tex]\int \frac{1}{1+sqrt{x}} \ dx[/tex]

?

Jeg ville vel satt [tex]$$u = \sqrt x ?$$[/tex]...

Du trenger kun å bruke variabelskifte.

Men det finnes tilfeller på variabelskifte og delvisintegrasjon (føler dette må være ytterst sjeldent)... Det ble nemlig veldig komplisert!

Hva sier du mstud, vanlig substitusjon slår som regel alltid til!

[Razzy]

Ja, stemmer det !

Jeg tror jeg så for mye på omskrivingen til Razzy i steden for på det opprinnelige integralet han skulle løse

Spiller ingen rolle for meg, at du er her og gjør ditt beste er det som teller. Vi lærer jo sinnsykt mye av å rote rundt som vi gjør!

[mstud]

Du trenger kun å bruke variabelskifte.

[tex]\int \frac{ e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx [/tex]

[tex]u=sqrt{x}[/tex]

[tex]du=\frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}}dx[/tex]

[tex]\int \frac{e^{u}}{\sqrt{x}} dx \Rightarrow \int {e^{u}\cdot \frac{2}{2\cdot sqrt{x}} dx[/tex]

[tex]\int {e^{u}\cdot 2 du=2\cdot e^{u}+C=2\cdot e^{\sqrt{x}}+C[/tex]

Hvordan ville du eventuelt ha gått fram på

[tex]\int \frac{1}{1+sqrt{x}} \ dx[/tex]

?

Jeg ville vel satt [tex]$$u = \sqrt x ?$$[/tex]...

Du trenger kun å bruke variabelskifte.

Men det finnes tilfeller på variabelskifte og delvisintegrasjon (føler dette må være ytterst sjeldent)... Det ble nemlig veldig komplisert!

Hva sier du mstud, vanlig substitusjon slår som regel alltid til!

Jeg tror jeg får spørre Andreas345 om han kan løse dette integralet også ved kun variabelskifte(substitusjon) også, da:
[tex]\int x \cdot e^{x^2}[/tex] ????
Her trodde i hvert fall jeg når jeg fikk det at jeg måtte bruke begge deler, og fikk på et eller annet vis rett svar

[Razzy]

Du trenger kun å bruke variabelskifte.

[tex]\int \frac{ e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx [/tex]

[tex]u=sqrt{x}[/tex]

[tex]du=\frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}}dx[/tex]

[tex]\int \frac{e^{u}}{\sqrt{x}} dx \Rightarrow \int {e^{u}\cdot \frac{2}{2\cdot sqrt{x}} dx[/tex]

[tex]\int {e^{u}\cdot 2 du=2\cdot e^{u}+C=2\cdot e^{\sqrt{x}}+C[/tex]

Hvordan ville du eventuelt ha gått fram på

[tex]\int \frac{1}{1+sqrt{x}} \ dx[/tex]

?

Når du skal sette inn for U. Burde det ikke stått [tex]$$\int {{{{e^u}} \over u}} dx$$[/tex] og ikke [tex]$$\int {{{{e^u}} \over {\sqrt x }}} dx$$[/tex]?

[mstud]

Du trenger kun å bruke variabelskifte.

[tex]\int \frac{ e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx [/tex]

[tex]u=sqrt{x}[/tex]

[tex]du=\frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}}dx[/tex]

[tex]\int \frac{e^{u}}{\sqrt{x}} dx \Rightarrow \int {e^{u}\cdot \frac{2}{2\cdot sqrt{x}} dx[/tex]

[tex]\int {e^{u}\cdot 2 du=2\cdot e^{u}+C=2\cdot e^{\sqrt{x}}+C[/tex]

Hvordan ville du eventuelt ha gått fram på

[tex]\int \frac{1}{1+sqrt{x}} \ dx[/tex]

?

Når du skal sette inn for U. Burde det ikke stått [tex]$$\int {{{{e^u}} \over u}} dx$$[/tex] og ikke [tex]$$\int {{{{e^u}} \over {\sqrt x }}} dx$$[/tex]?

Da må du i så fall skrive [tex]du=\frac 1{2 \cdot u}[/tex] også, ellers funker ikke strykingen i substitusjonen

[Andreas345]

Til Razzy.

Var derfor jeg nevnte dette eksempelet, slik at du fikk benyttet både variabel skifte og delvis integrasjon.

Skal hjelpe deg litt mer på vei:

[tex]\int \frac{1}{1+sqrt{x}} \ dx[/tex]

[tex]u=1+sqrt{x}[/tex]

[tex]du=\frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}} dx[/tex]

[tex]\int \frac {1}{u}\cdot \frac{2\cdot \sqrt{x}}{2\cdot sqrt{x}} dx[/tex]

[tex]\int \frac{1}{u}\cdot 2\cdot sqrt{x}\ du[/tex]

Så hvis [tex]u=1+sqrt{x} \Rightarrow \sqrt{x}=u-1[/tex].....

Til Mstud:

[tex]\int x \cdot e^{x^2} dx[/tex]

[tex]u=x^2[/tex]

[tex]du=2x dx[/tex]

[tex]\int x \cdot e^{u}\cdot \frac{2}{2} dx \Rightarrow \frac{1}{2}\cdot\int e^{u} du= \frac{1}{2}\cdot e^{u} +C= \frac{1}{2}\cdot e^{x^2} +C[/tex]