Delbrøkoppspalting - trenger et hint

[Razzy]

[tex]$$\int {{{{x^2} + 1} \over {{x^2} - 1}}} dx \Leftrightarrow \int {{{{x^2} + 2x + 1} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}} dx \Leftrightarrow \int {{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}} dx$$[/tex]

[tex]$$\int {{{\left( {x + 1} \right)} \over {\left( {x - 1} \right)}}dx \Leftrightarrow } \int {{1 \over {\left( {x - 1} \right)}}\left( {x + 1} \right)} dx$$[/tex]

Okei, jeg har lyst til å utføre en polynomdivisjon, for forenkle uttrykket litt.

[tex]$$\left( {x + 1} \right):\left( {x - 1} \right) = \underline {1 + {2 \over {x - 1}}} $$[/tex]

Jeg ser her at det ikke er nødvendig å bruke brøkoppspaltingsmetode.

[tex]$$\int {1 + {2 \over {x - 1}}dx} $$[/tex]

[tex]$$\underline {x + 2\ln \left| {x - 1} \right| + C} $$[/tex]

Fasit: [tex]$$\underline{\underline {x + \ln \left| {{{x - 1} \over {x + 1}}} \right| + C}} $$[/tex]

Ut ifra fasiten, mister jeg at de har brukt delbrøkoppspaltingsmetoden. Eller så har de kanskje løst stykket ved bruk av substitusjon? (fikk ikke det helt til)

[Vektormannen]

Det du gjør mellom ekvivalenspilene forandrer på uttrykkets verdi. Hva mener du egentlig med ekvivalenspilene? Det svaret du har funnet vil være (såvidt jeg ser) riktig svar for integralet [tex]\int \frac{x+1}{x-1} dx[/tex], men det er jo ikke dette du skal løse!

Det du må gjøre her er enten å polynomdividere med en gang, dvs. å dele [tex]x^2 + 1[/tex] på [tex]x^2 - 1[/tex], eller å benytte følgende triks (som i praksis er det samme): [tex]\frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} = \frac{x^2 - 1 + 2}{x^2 - 1} = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 1} + \frac{2}{x^2-1} = 1 + \frac{2}{x^2 - 1}[/tex].

[Razzy]

Det du gjør mellom ekvivalenspilene forandrer på uttrykkets verdi. Hva mener du egentlig med ekvivalenspilene?

Med disse pilene mener jeg at uttrykket er helt likt, at det bare er to forskjellige måte å skrive det på. Har jo bare faktorisert teller og nevner hver for seg?

Det svaret du har funnet vil være (såvidt jeg ser) riktig svar for integralet [tex]\int \frac{x+1}{x-1} dx[/tex], men det er jo ikke dette du skal løse!

Trodde forkortingen og omskrivingen min gjorde dette lettere, at det var ett og samme uttrykk. Jeg har visst gjort operasjoner som har forandret uttrykkets verdi, og da går det jo dårlig...

Det du må gjøre her er enten å polynomdividere med en gang, dvs. å dele [tex]x^2 + 1[/tex] på [tex]x^2 - 1[/tex], eller å benytte følgende triks (som i praksis er det samme): [tex]\frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} = \frac{x^2 - 1 + 2}{x^2 - 1} = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 1} + \frac{2}{x^2-1} = 1 + \frac{2}{x^2 - 1}[/tex].

Den er greit! Dette trikset, er det det samme som mstud snakket om igår, short division het det visst på engelsk?

Har det ikke i pensum, men kan vel som alt annet være en fordel å kunne?