matematikk.net

Her er to eksempler. I det første har man uttrykket


2x+y-z-5=0 (1)
Vi skal finne punktet næmest origo. Avstanden fra origo er gitt ved ligningen:

[tex]\sqrt{x^2+y^2+z^2}[/tex]

og da har funksjonen

[tex]f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2[/tex] (2)


og vi setter inn uttrykket (1) løst for z: z=2x+y-5 i (2)

[tex]f(x,y,z)=x^2+y^2+(2x+y-5)^2[/tex] (3)

deretter deriverer man partielt på x og y fordi man skal finne punktet som ikke har noe stigingstall i x eller y-retning:

[tex]h_x=2x+2(2x+y-5)(2)=0[/tex]

[tex]h_y=2y+2(2x+y-5)=0[/tex]

og vi finner løsningen på koordinatene fra denne ligningen:

[tex]x=\frac{5}{3}[/tex] [tex]y=\frac{5}{6}[/tex]

deretter setter vi x og y inn i (1) for å finne z:

[tex]z=2(\frac{5}{3})+\frac{5}{6}-5=-\frac{5}{6}[/tex]

Og ved å bruke pytagoras finner vi avstand fra origo: 2,04

Her er eksemplet:

http://bildr.no/view/846506

del 2:

http://bildr.no/view/846507

Dette eksemplet var greit. På neste eksempel skjønte jeg ikke helt hva de mente:

Vi har ligningen for en sylinder gitt ved kurven som mansenere bretter ut:

[tex]x^2-z^2-1=0[/tex]


Vi skal igjen finne puntene som er nærmest origo vi setter inn for z i

[tex]f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2[/tex] (4)

igjen og får:

[tex]f(x,y,z)=x^2+y^2+(x^2-1)^2[/tex] (4)

når vi løser dette etter at vi har derivert for x og y får vi:


[tex]h_x=4x=0[/tex] [tex]h_y=2y=0[/tex]

som er i origo men liginingen til sylinderen går ikke igjennom origo

Er det fordi vi må skrive x som avhengig variabel siden den ikke er i origo? Ser man på ligningene før man løser problemene og velger seg det som passer best med tegningen av problemene? Her er det andre eksemplet som jeg har beskrevet ovenfor. Oppgaven er lengre men det er det jeg har skrevet over jeg lurer på:

http://bildr.no/view/846539

andre del av eksempel:

http://bildr.no/view/846541

Punktet ditt ligger ikke i origo. Du har glemt z-koordinaten.

uttrykket med z og x er foressten ikke en sylinder, men en hyperbel's analog til en sylinder.