matematikk.net

dette er beviset for taylor polynomials:

http://bildr.no/view/848373

del 2:
http://bildr.no/view/848374

del 3:

http://bildr.no/view/848375

I begynnelsen av del 2 tenker jeg meg at de finner to punkter hvor f(a)=f(b)=0 og fra Rolle's theorem har vi at da finnes det et stigningstall imellom a og b som er [tex]f*(c_1)=0[/tex]

* betyr derivert her siden tex ikke skriver '

Jeg kan skjønne at de antar to sånne punkter tenker jeg. Men så sier de at

[tex]f*(a)=f*(c_1)=0[/tex]

hvorfor antar de at stigningstallet i a er 0. Jeg skjønner ikke hvorfor de kan det?

Beviset er egentlig bare litt over en side var bare litt knotete og få lastet det opp.

Se på definisjonen av F(x) og beregn den deriverte i punktene x=a og x=c_1. Det er rett frem derivasjon å vise at den deriverte er 0 i disse punktene.

Vi har

[tex]P_n(x)=f(a)+f*(a)(x-a)+\frac{f**(a)}{2!}(x-a)^2+...+\frac{f^(n)(a)}{n!}(x-a)^2[/tex] (1)

og at


[tex]\phi_n(x)=P_n(x)+K(x-a)^{n+1}[/tex] (2)

y=f(x)

og

[tex]F(x)=f(x)-\phi_n(x)[/tex] (3)

Sånn som jeg har forstått det velger de seg to punkter slik at:

F(a)=F(b)=0

alle ledd som har (x-a) blir 0 automatisk.

Jeg har prøvd å derivere F(x). Det jeg sitter igjen med er f*(x) siden når jeg setter inn for a i (3) er det bare ledd etter f(x) som inneholder (x-a) som blir 0 når x=a. Men jeg ser ikke hvorfor f*(a) blir 0. Og hvorfor F(b) blir 0 ser jeg heller ikke p.g.a. (b-a) ikke blir 0.

Fra dine definisjoner er for n>0:

[tex]P_n^,(a)=f^,(a)[/tex] og

[tex]\phi_n^,(a)=f^,(a)[/tex]

Ergo blir [tex]F^,(a)=f^,(a)-f^,(a)=0[/tex]

At [tex]F^,(c_1)=0[/tex] kommer av Rolles theorem.