Løsning til differensialligning - derivasjon

[mstud]

Hei!
Her kommer enda en oppgave om differensialligninger:

Oppgaven er:

Vis at [tex]I=\frac {U_m}{Z} sin(\omega t - \varphi)[/tex] er en løsning til ligningen

[tex]I^,+\frac {R}{L} I=\frac {U_m}{L} sin \omega t[/tex]
der

[tex]\varphi=tan^{-1} (\frac {L\omega }{R})[/tex] og [tex]Z=\sqrt{R^2+L^2 \omega ^2}[/tex]

Jeg vet jeg må derivere det som skal være løsningen til ligningen, men det er også omtrent alt jeg vet .

Når skal jeg sette inn hva [tex]\varphi=[/tex] og hva Z= ?

Og hva skal jeg derivere den løsningen med hensyn på? (Det kan i hvert fall ikke være x)

Hvilke av alle disse bokstavene kan behandles som konstanter, hvis noen?

[Vektormannen]

Det er nok t (antageligvis tid) som er variabelen her. For å vise at det er en løsning må du altså derivere I og sette inn i ligningen. Jeg ville ikke byttet ut phi og Z med en gang, men beholdt dem helt til du ser om det kan lønne seg å bytte dem ut (kanskje du f.eks. ser at du da kan forkorte mot noe.)

[mstud]

Tror du jeg kan behandle [tex]\frac {U_m}{z}[/tex] som en konstant når jeg deriverer I?
(siden den ikke er et uttrykk av t?)

Hvis ikke blir det en merkelig kombinasjon av kvotientregelen, produktregelen +++

Hvis jeg lar [tex]\frac {U_m}{z}[/tex] være konstant blir [tex]I^,=(\frac {U_m}{z} \cdot sin(\omega t- \varphi))^,=\frac {U_m}{z} \cdot cos(\omega t- \varphi) \cdot \omega [/tex] , ser det riktig ut?

Og så må jeg sette inn i differensialligningen og bytte ut Z og deretter [tex]\varphi[/tex] ?

[mstud]

Når jeg da setter inn i differensialligningen, får jeg:

[tex]\omega \frac {U_m}{Z} \cdot cos(\omega t -\varphi) + \frac {R}{L} \cdot \frac {U_m}{Z} \cdot sin(\omega t -\varphi)= \frac {U_m}{Z} \cdot sin(\omega t) \\ \frac {U_m}{Z} \cdot cos(\omega t -\varphi) \cdot (\omega + \frac {R}{L} tan(\omega t -\varphi))=[/tex]

Og så ser jeg ikke helt hvordan jeg kommer meg videre, så hadde vært flott med et lite hint ?

[Vektormannen]

Det ser bra ut så langt! Alt utenom t blir å betrakte som konstanter, siden det ikke er oppgitt at f.eks. R skal avhenge av t.

Men jeg ville gått tilbake et hakk fra det siste der. Hvis du ser på:

[tex]\omega \frac{U_m}{Z} \cos(\omega t - \phi) + \frac{R}{L} \cdot \frac{U_m}{Z} \cdot \sin(\omega t - \phi) = \frac{U_m}{L} \sin(\omega t)[/tex]

så kan du først og fremst forkorte [tex]U_m[/tex]. Deretter ville jeg ha ganget med LZ på begge sider, og fått

[tex]\omega L \cos(\omega t - \phi) + R \sin (\omega t - \phi) = Z \sin (\omega t)[/tex].

Har du noen ideer om hvordan du kan komme deg videre nå?

[mstud]

Det ser bra ut så langt! Alt utenom t blir å betrakte som konstanter, siden det ikke er oppgitt at f.eks. R skal avhenge av t.

Men jeg ville gått tilbake et hakk fra det siste der. Hvis du ser på:

[tex]\omega \frac{U_m}{Z} \cos(\omega t - \phi) + \frac{R}{L} \cdot \frac{U_m}{Z} \cdot \sin(\omega t - \phi) = \frac{U_m}{L} \sin(\omega t)[/tex]

så kan du først og fremst forkorte [tex]U_m[/tex]. Deretter ville jeg ha ganget med LZ på begge sider, og fått

[tex]\omega L \cos(\omega t - \phi) + R \sin (\omega t - \phi) = Z \sin (\omega t)[/tex].

Har du noen ideer om hvordan du kan komme deg videre nå?

Jeg er ikke helt sikker på hva som er den beste veien videre, men det er jo mulig å skrive venstresiden som en ren cosinusfunksjon/sinusfunksjon. For da blir vel amplituden til den nye funksjonen lik Z? og jeg kan dele på Z på begge sider osv. ?

Ellers er det jo mye som går an å gjøre, men ikke alt som vil få meg til å komme så langt videre

[Vektormannen]

Du er nok absolutt inne på noe

Du kan skrive om summen på venstre side til en sinusfunksjon som beskrevet her. Da blir amplituden akkurat Z som du sier, og sinusfunksjonen blir lik den på høyre side.

[mstud]

Du er nok absolutt inne på noe

Du kan skrive om summen på venstre side til en sinusfunksjon som beskrevet her. Da blir amplituden akkurat Z som du sier, og sinusfunksjonen blir lik den på høyre side.

Da blir det videre: amplituden på venstre side, [tex]a=\sqrt {(\omega L)^2+R^2}=\sqrt{R^2 + \omega ^2 L^2}Z[/tex]. og så vil det leddet som skal plusses på inni [tex][tex][/tex]sin(\omega t - \varphi)[tex][tex][/tex] : [tex]tan^{-1}(\frac {L\omega}{R})=\varphi[/tex], dermed har vi [tex]sin(\omega t -\varphi +\varphi )=sin(\omega t)[/tex] og da er:

[tex]\omega L cos(\omega t -\varphi )+Rsin(\omega t -\varphi)=Z sin \omega t \\ \ \\ Zsin(\omega t -\varphi +\varphi )=Z sin \omega t \\ \ \\ Z sin \omega t =Z sin \omega t[/tex]

Og nå er høyre og venstre side helt like, så dermed er jeg ferdig, og tusen takk for hjelpen også denne gang !!!

(Og, det blir sikkert langt fra siste gang )