matematikk.net

Har et par ting jeg lurer på som det er fint hvis noen svarte på:)

Hva menes med at en transformasjon T: V1-V2 (der V1, V2 er vectorrom) er en lineær transformasjon?

Hva vil det si at en transformasjon er into og at en transformasjon er en-til-en?

En lineær transformasjon er et annet ord for en lineær funksjon. Det er en funksjon med to egenskaper (eller bare en, avhengig av bok).

Kan du slå det opp noe sted?

For into og en-til-en, har du vært borti surjektive, injektive og bijektive funksjoner?

Forresten: er dette noe du lurer på sånn generelt? Er ikke akkurat typiske oppgavespørsmål det her. I så fall kan jeg jo bare forklare det for deg.

En lineær transformasjon f er en funksjon som oppfyller to krav:
(i) f er additiv:
[tex]f(x + y) = f(x) + f(y)[/tex]

(ii) f er homogen:
[tex]f(ax) = a\cdot f(x)[/tex] for alle reelle tall [tex]a[/tex].

Noen ganger slås det sammen til en egenskap:
[tex]f(ax + by) = a\cdot f(x) + b\cdot f(y)[/tex]

For vanlige funksjoner med en variabel er f.eks
[tex]f(x) = x[/tex] og [tex] f(x) = 3x[/tex] lineære funksjoner
[tex]f(x) = x^2[/tex] er ikke lineær

Når du får oppgitt at en avbildning er lineær, vet du at den oppfyller (i) og (ii). Tror ikke det er så vanlig å bruke det i oppgaver, men det brukes en del i bevisføring.

Står mer her:
http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_map

For onto og en-til-en funksjoner er det enklest å forstå ved og se på mengder. En funksjon f fra X til Y er "onto", eller surjektiv, hvis alle punktene i Y beskrives av minst et punkt i X.

http://en.wikipedia.org/wiki/Surjective_function

En "en-til-en" funksjon, også kalt en injektiv funksjon, har man hvis alle elementene i X peker på forskjellige elementer i Y.

http://en.wikipedia.org/wiki/Injective_function

Wikipedia har fine sider på dette (med fine bilder som jeg uten skam stjal), og de har også mange av de klassiske eksemplene på hver av typene. Anbefaler å se litt på de, så kan du spørre om noe var uklart.

igjen: tror ikke det er noe som brukes så mye i vanlige oppgaver, men mest i bevisføring. Men kanskje det er det du gjør da.

Tenkte å gi en god forklaring på det, men er begrenset på hvor mye jeg kan skrive her på forumet. Har tross alt eget pensum å lese på.

Har et spørsmål til Markonan:

Du skriver at lineære funksjoner må oppfylle

[tex]f(x+y) = f(x) + f(y)[/tex]

Det kan hende du mener lineære funksjoner i en annen kontekst, men etter det funksjonsbegrepet jeg er kjent med tilfredsstiller lineære funksjoner generelt ikke denne likningen

Har man en generell lineær funksjon [tex]f(x) = ax+b[/tex] vil likningen gi

[tex]f(x+y) = a(x+y)+b = ax+ay+b \, \neq \, ax+b + ay+b = f(x) + f(y)[/tex]

Jepp, det er en annen type linearitet.

Funksjoner på formen:
f(x) = ax + b
kalles lineære siden grafene er linjer.

Hvorfor den andre typen kalles lineære funksjoner er jeg ikke helt sikker på, men det er nok et fint eksempel på helt forskjellige ting i matematikk som har samme navn.

Grunnen til at de kalles lineære er vel nettopp fordi de oppviser additivitet og homogenitet. Andre eksempler på slik lineæritet er f.eks. lineære differensialligninger. (Skjønt disse kan oppfattes som lineære transformasjoner)

Jeg tror heller det bare var noen som på et eller annet tidspunkt fant ut at funksjoner som var additive og homogene skulle kalles lineære avbildninger. Hvorfor vet jeg ikke, men de har vel en god grunn for det.

Kjenner en som skal ta PhD i sånn lineær algebra-greier. Kan høre om han kanskje vet.

Vil presisere at det er forskjell på en lineær transformasjon og en lineær funksjon. En lineær funksjon behøver ikke være en lineær transformasjon. F.eks. er [tex]f(x)=x+1[/tex] en lineær funksjon, men ikke en lineær transformasjon.

Det riktige er vel å si at lineære funksjoner er affine transformasjoner: komposisjoner av lineære transformasjoner og translasjoner.

Man kan f.eks. skrive [tex]f(x)=x+1[/tex] som komposisjonen av [tex]g(x)=x[/tex] og [tex]h(x)=x+1[/tex]: [tex]f=h\circ g [/tex]

I min erfaring så blir uttrykk som transformasjon, avbildning og funksjoner brukt om hverandre. Man forstår som regel ut fra sammenhengen hvilken av variantene det er snakk om.

Men man burde kanskje vært litt strengere på det!

Markonan wrote:I min erfaring så blir uttrykk som transformasjon, avbildning og funksjoner brukt om hverandre. Man forstår som regel ut fra sammenhengen hvilken av variantene det er snakk om.

Men man burde kanskje vært litt strengere på det!

Slik jeg forstår det er "problemet" (dvs. kilden til forvirring) at man kaller alle funksjoner fra R til R hvis graf er rette linjer, for lineære. Hadde man begrenset definisjonen av "lineær funksjon" til rette linjer gjennom origo, og kalt generelle funksjoner på formen f(x)=ax+b for affine funksjoner, ville man hatt en ryddigere og mindre forvirrende semantikk.

svinepels wrote:Har et spørsmål til Markonan:

Du skriver at lineære funksjoner må oppfylle

[tex]f(x+y) = f(x) + f(y)[/tex]

Det kan hende du mener lineære funksjoner i en annen kontekst, men etter det funksjonsbegrepet jeg er kjent med tilfredsstiller lineære funksjoner generelt ikke denne likningen

Har man en generell lineær funksjon [tex]f(x) = ax+b[/tex] vil likningen gi

[tex]f(x+y) = a(x+y)+b = ax+ay+b \, \neq \, ax+b + ay+b = f(x) + f(y)[/tex]

Lineære funksjoner som er additive og homogene sammenfaller med lineærtransformasjonene (hvis man identifiserer reelle vektorrom av dimensjon n med R^n (eller kroppen vektorrommet skulle være over)).

Lineære funksjoner vil generelt ikke tilfredstille noen av disse egenskapene.

Additivitet og homogenitet er nyttige egenskaper og det er god grunn til å insistere på dem. Injektive lineærtransformasjoner fanger nøyaktig den additive og multiplikative strukturen til et vektorrom i et annet.