matematikk.net

Hei!

Har en differensialligning her som jeg skal løse, den er utledet av Newtons andre lov:

[tex]mg-k\frac{dy}{dt}=k\frac{d^2y}{d^2t}[/tex]

Så langt kommer jeg:

[tex]mg-k\frac{dy}{dt}=k\frac{d^2y}{d^2t} \\ k\frac{d^2y}{d^2t}+k\frac{dy}{dt}=mg \\ \frac{d^2y}{d^2t}+\frac{dy}{dt}=\frac{mg}{k}[/tex]

Men så vet jeg ikke hvordan jeg skal løse den når den ikke er lineær?

Tror ikke det er så komplisert hvis jeg bare får vite hvordan...

Noen som kan hjelpe?

Hvis du innfører hjelpevariabelen [tex]u = \frac{dy}{dt}[/tex] så får du:

[tex]\frac{du}{dt} + u = \frac{mg}{k}[/tex]

Denne er separabel, og den får du sikker til

Vektormannen wrote:Hvis du innfører hjelpevariabelen [tex]u = \frac{dy}{dt}[/tex] så får du:

[tex]\frac{du}{dt} + u = \frac{mg}{k}[/tex]

Denne er separabel, og den får du sikker til

Det var en god idè, men jeg får ikke fasitsvaret ... synes forøvrig at det ser litt merkelig ut? Fasit har: [tex]y=\frac {mg}{k} t + A \cdot e^{-\frac {k}{m} t} +B[/tex]

Mens jeg fikk : [tex]y=\frac {mg}{k} t + A \cdot e^{-t} + B[/tex]

Framgangsmåten min var:

Ganger med integrerende faktor [tex]e^t[/tex] på begge sider, venstresiden er da den deriverte av u*e^t, integrerer begge sider, deler på integrerende faktor. Har da et uttrykk for dy/dx, og integrerer begge sider får å få y.


Her er utregningene mine:
[tex]\frac{du}{dt} + u = \frac{mg}{k} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ | \ \cdot e^t \\ \ \\ \frac {du}{dt} \cdot e^t+u \cdot e^t=\frac {mg}{k} \cdot e^t \\ \ \\ (u\cdot e^t)^,=\frac {mg}{k} \cdot e^t \\ \ \\ u\cdot e^t=\int \frac {mg}{k} \cdot e^t dt \\ \ \\ u \cdot e^t=\frac {mg}{k} \cdot e^t +C \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ | \ \cdot e^{-t} \\ \ \\ u=\frac {mg}{k} +C\cdot e^{-t} \ dvs. \ y^,=\frac {mg}{k} +C\cdot e^{-t} \\ \ \\ y=\int \frac {mg}{k} +C\cdot e^{-t} \ dt=\frac {mg}{k} t -1\cdot C \cdot e^{-t} +B=\frac {mg}{k} t - C \cdot e^{-t} +B[/tex]

Til slutt kan jeg sette [tex]-C=a[/tex] og får da:

[tex]y=\frac {mg}{k} t +A \cdot e^{-t} +B[/tex]

Ser du noen feil her eller er det fasitsvaret som er feil?

edit: rettet en liten feil, se nedenfor.

Flott

Det ser ut som fasitsvaret er feil ja. Det stemmer hverfall ikke når jeg tester fasitløsningen ved innsetting her.

Bare sånn for å nevne det, en alternativ metode her er å benytte at ligningen er separabel. Da får du: [tex]\frac{du}{\frac{mg}{k} - u} = dt[/tex], og så videre. Om det er noe enklere kommer vel an på hva man er mest komfortabel med.

edit: merket en liten feil i det siste integralet ditt. Når du integrerer [tex]Ce^{-t}[/tex] så får du ikke noen t der, du får bare [tex]-Ce^{-t}[/tex].

Vektormannen wrote:Flott

Det ser ut som fasitsvaret er feil ja. Det stemmer hverfall ikke når jeg tester fasitløsningen ved innsetting her.

Bare sånn for å nevne det, en alternativ metode her er å benytte at ligningen er separabel. Da får du: [tex]\frac{du}{\frac{mg}{k} - u} = dt[/tex], og så videre. Om det er noe enklere kommer vel an på hva man er mest komfortabel med.

edit: merket en liten feil i det siste integralet ditt. Når du integrerer [tex]Ce^{-t}[/tex] så får du ikke noen t der, du får bare [tex]-Ce^{-t}[/tex].

Tusen takk for hjelpen !

Stemmer der hadde sneket seg inn en liten feil der ja, jeg får "pynte på" løsningen min, da, i tilfelle noen andre kommer inn og leser den