matematikk.net

Jeg har at

[tex]D_n = \frac1\pi \int_0^\pi \sin{(t)}\cdot e^{-i2nt}dt=\frac{2}{\pi(1-4n^2)}[/tex]

Jeg skjønner ikke hva som skjer fra den ene siden av likhetstegene til det andre, noen som kan gi meg noen tips?

Har prøvd og skrive sin t som en exp funksjon, men kommer ikke noen vei der heller.

For mange typer integraler finnes det formler. Nummer 2 på listen:
http://en.wikipedia.org/wiki/Lists_of_i ... erivatives

[tex]\int sin(at)\cdot e^{bt}dt = \frac{e^{bt}}{a^2 + b^2}\Big(b\sin(at) - a\cos(at)\Big) + C[/tex]

Med denne formelen er det rimelig enkelt. Tar hele utregningen jeg.

For deg er a=1 og b = -2in.
[tex]\int sin(t)\cdot e^{-2int}dt = \frac{e^{-2int}}{1^2 + (-2in)^2}\Big((-2int)\sin(t) - \cos(t)\Big) + C[/tex]

Litt mellomregning:
(-2int)[sup]2[/sup] = (-2)[sup]2[/sup](i)[sup]2[/sup]n[sup]2[/sup] = 4(-1)n[sup]2[/sup] = -4n[sup]2[/sup]

[tex]=\;\; \frac{e^{-2int}}{1 - 4n^2}\Big((-2int)\sin(t) - \cos(t)\Big) + C[/tex]

Når du har det ubestemte integralet, er det bare å sette inn verdiene fra det bestemte integralet og kaste C ut av vinduet.

[tex]\int_0^\pi\sin(t)e^{-2int}dt =[/tex]
[tex]\frac{e^{-2in\pi}}{1 - 4n^2}\Big(\underbrace{(-2in\pi)\sin(\pi)}_{=0} - \underbrace{\cos(\pi)}_{=-1}\Big) \;-\; \frac{e^{-2in\cdot0}}{1 - 4n^2}\Big(\underbrace{(-2in 0)\sin(0)}_{=0} - \underbrace{\cos(0)}_{=1}\Big)[/tex]

[tex]=\;\; \frac{e^{-2in\pi}}{1 - 4n^2}(1) - \frac{e^{-2in\cdot 0}}{1-4n^2}(-1)[/tex]

[tex]=\;\; \frac{e^{-2in\pi}}{1 - 4n^2} + \frac{e^{-2in\cdot 0}}{1-4n^2}[/tex]

Så til slutt ser vi på eksponentialfunksjonene.
[tex]e^{-2in\cdot 0} = e^{0} = 1[/tex]

Fra du lærte om komplekse tall så husker du kanskje at 2*pi er en full omdreining, og når du ganger det med n så "spinner" du rundt n ganger men ender opp på 1.

[tex]e^{-2i\pi\cdot n} = e^{-2i\pi} = 1[/tex].

Helt til slutt har vi da:
[tex]=\;\; \frac{1}{1 - 4n^2} + \frac{1}{1-4n^2} \;=\; \frac{2}{1-4n^2}[/tex]

I uttrykket du har for D[sub]n[/sub] ganger du integralet med 1/pi, og da får du identiteten din.

Hvis man skal regne fra scratch er vel det enkleste å bruke

[tex]\sin(t) = \frac{1}{2i}\left(e^{it}-e^{-it}\right)[/tex]

Trekk ut konstanter og gang sammen leddene, som gir:

[tex]\frac{1}{2\pi i}\int_0^{\pi}\left(e^{i(1-2n)t}-e^{-i(1+2n)t}\right)\,\mathrm{d}t[/tex]

Herfra er det bare å integrere mht [tex]t[/tex] og benytte identitetene Markonan har nevnt når man setter inn for grensene.