matematikk.net

I forbindelse med utredningen av et bevis for Cauchy Riemann integralet i polar koordinater får jeg opplyst at:

[tex](e^{i\Delta \theta} - 1) = i \theta[/tex]

Jeg klarer imidlertid ikke helt å forstå hvorfor dette stemmer. Vi har jo at [tex]e^{i\Delta \theta} = cos(\Delta \theta) + isin(\Delta \theta)[/tex] og jeg ser ikke hvordan vi ut i fra dette får resultatet over.

Setter veldig stor pris på om noen kort kan forklare dette!

Hvis vi antar at [tex]\theta\approx 0[/tex], har vi [tex]\cos\theta \approx 1[/tex] og [tex]\sin\theta\approx \theta[/tex]. [tex]\Delta \theta[/tex] kan være forfatterens notasjon for "liten theta", men likheten holder kun i grensen [tex]\lim_{\theta\to 0}[/tex]

Takk for svar.

Jeg er fremdeles ikke helt med.

Dersom vi har at cos-uttrykket går mot 1, skulle ikke da sin-uttrykket gått mot 0? Hvor kommer i så fall den imaginære enheten fra i uttrykket på høyre side av likhetstegnet?

Den imaginære delen kommer fra eulers formel. [tex]e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\approx 1 + i\theta[/tex] for små [tex]\theta[/tex].

Grunnen til at vi sier at [tex]\cos x \approx 1[/tex] og [tex]\sin x \approx x[/tex] når [tex]x[/tex] er liten kommer av å ta de første ordens taylorutviklingene av henholdsvis cos og sin. Da får vi

[tex]\cos x = 1 - \frac{\cos (s)}{6}x^3[/tex]

og

[tex]\sin (x) = x - \frac{\sin (r)}{24}x^4[/tex]

der [tex]s,r\in (0,x)[/tex]. Det siste leddet i hvert uttrykk kalles feilen til tilnærmingen.

Ettersom feilene er proporsjonale med henholdsvis [tex]x^3[/tex] og [tex]x^4[/tex], vil disse gå mot 0 fortere enn [tex]x[/tex], så vi kan si at de blir neglisjerbare for små nok x. Men, som sagt, likhet oppnås kun i grensen når [tex]x[/tex] går mot 0. Da vil vi få sin(0)=0, som du påpekte.

Litt rar notasjon forfatteren har brukt, syns nå jeg. Det burde stått

[tex]e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)\approx 1+i\theta[/tex] når [tex]|\theta|<<1[/tex]

Hvorfor blande inn [tex]\Delta\theta[/tex]? Det er ikke engang definert.

Hei.

Takk for svar, Espen!

Grunnen til at det står [tex]\Delta \theta[/tex] er at dette uttrykket er en del av utredningen av Cauchy Riemann ligningene (jeg skrev feil i første innlegg da jeg skrev Cauchy Riemann integralet - det skal være ligningene) i polarkoordinater (hvor vi har en grenseverdi hvor [tex]\Delta \theta[/tex] går mot 0.

Forøvrig er dette hentet fra fasiten til en tidligere eksamensoppgave, og ikke fra tekstboken jeg har i faget. Eksamensfasiter er jo ikke alltid 100 % til å stole på.