matematikk.net

Jeg ser på måte å regne ut et areal av en overflate S som er i rommet ved å skrive koordinatene til det som en vektor som er addisjon av x, y og z-kooordinatene:

[tex]r(u,v)=ui+vj+h(u,v)k[/tex]

u=x v=y altså bare en ovrerflate som ligger over xy-planet.

Deretter setter man opp overflatearealet til en liten del av S ved å ta kryssproduktet av [tex]r_v[/tex] og [tex]r_u[/tex] i et punkt.

Men som forutsetning sier de at hvis p er en vektor langs z-aksen og S tegnes over xy-planet vil aldri [tex]\bigtriangledown f\cdot p\neq0[/tex]

på engelsk står det som forklaring so the surface never folds back over itself

jeg skjønner ikke hva det betyr og jeg skjønner ikke hvorfor z-koordinatene ikke kan gå parallellt med xy-planet i noe punkt.

Her er teksten:

http://bildr.no/view/854511

resten av teksten og hvis man er interessert:

http://bildr.no/view/854513

Anta at [tex]\frac{\partial F}{\partial z}=F_z=0[/tex] i et punkt i R. Hvordan vil du nå regne ut [tex]\frac{\partial z}{\partial u}[/tex] og [tex]\frac{\partial z}{\partial v}[/tex] i dette punktet? Dersom dette ikke er mulig, vil vel ikke [tex]S[/tex] være en deriverbar flate i u og v over R.

Slik ser nå jeg saken. Dessuten ville vi ikke ha kunnet definere [tex]\rm{d}S[/tex] i dette punktet, og dermed kunne vi ikke ha integrert over flaten. Jeg antar vi ville få samme situasjon som når vi prøver å integrere over singulære punkter i 1-dimensjonal analyse.

Vet du om et sted på nett som kan vise eksempler på når den deriverte ikke fungerer?

Her er det jo [tex]z=h(u,v)[/tex]

som bestemmer koordinatene i z-akse fra så stigningstallet til z=h(u,v) er det som ikke skal være 0 men da antar jeg at begge partielt deriverte må være 0 sånn at alle punkter rundt ikke stiger eller minker. De har ikke kjerne siden u=x og v=y.

Det virker du du har misforstått.

Her er det viktig å forstå hva [tex]\nabla F[/tex] er og hvor den peker. Ettersom flaten er definert som en nivåflate av F, vil [tex]\nabla F[/tex] alltid stå ortogonalt på flaten. Forstår du hvorfor?

Derfor vil [tex]\nabla F\cdot \hat{k}=0[/tex] i et punkt innebære at flaten i det punktet står ortogonalt på xy-planet, og dette kan vi ikke ha noe av. Da ville vi nemmelig ikke kunnet avbilde flaten på xy-planet i dette punktet, selv om flaten ikke overlapper. Dette er fordi [tex]\rm{d}u\rm{d}v=\sqrt{1+\left(\frac{\partial h}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial h}{\partial y}\right)^2}\rm{d}x\rm{d}y[/tex].

Som du sikkert vet er [tex]\iint_S f(u,v) \rm{d}S=\iint_D f(u(x,y),v(x,y))\sqrt{1+\left(\frac{\partial h}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial h}{\partial y}\right)^2}\rm{d}x\rm{d}y[/tex]

Der S er flaten og D er flatens projeksjon på xy-planet.