matematikk.net

Teoremet går som følger:
Hvis og bare hvis de kvadratiske matrisene A og B kommuterer, finnes en similaritetstransformasjon som samtidig diagonaliserer A og B.

Altså, [tex]AB=BA\,\Leftrightarrow\,\exist \, P\,|\,A=PD_AP^{-1} \, \wedge \, B=PD_BP^{-1}[/tex]

Implikasjon mot venstre går slik:

[tex]A=PD_AP^{-1} \, , \, B=PD_BP^{-1}[/tex]

[tex]\Rightarrow AB=PD_AP^{-1}PD_BP^{-1}=PD_AD_BP^{-1}[/tex]

Ettersom diagonalmatriser kommuterer har vi

[tex]AB=PD_AD_BP^{-1}=PD_BD_AP^{-1}=BA[/tex]

Implikasjon mot høyre er vanskeligere, og det er her jeg sitter fast. Hvordan kan jeg bruke at A og B kommuterer til å vise at en slik matrise [tex]P[/tex] eksisterer? Jeg antar at jeg må finne ut noe og eigenvektorene til A og B. La A ha et eigenverdi, -vektor-par [tex](\lambda, v)[/tex].

[tex]Av=\lambda v[/tex]

[tex]BAv=ABv=\lambda Bv[/tex]

Nå ser vi at vi får igjen [tex]Av=\lambda v[/tex] dersom v også er en eigenvektor for B, men jeg et ute etter den motsatte implikasjonen, så dette ser ikke ut til å føre fram.

Noen som har ideer til en fremgangsmåte her?

Kan http://www.mathematics.thetangentbundle ... l_matrices være til hjelp?

Ja, se der! Jeg overså helt tilfellet med eigenverdier med multiplisitet større enn 1. Mange takk for linken!