matematikk.net

første ordens lineær ligning skrives på formen

y'+p(x)y=0

for å løse den separerer vi dx og dy:

[tex]\frac{dy}{y}=-p(x)dx[/tex]

[tex]ln|y|=-\int p(x) dx + c*[/tex]

hvorfor skriver de absolutt. Hvis y er neg går ikke ligningen opp og da må vel svaret bli annerledes hvis man tara absoluttegn på venstre side?

[tex]y(x)=ce^{-\int p(x)dx} [/tex] hvor

[tex]c=\mp e^{c*} y \lessgtr 0[/tex] de har skrevet + eller minus her foran e men fra ganging av eksponentielle tall skjønner jeg ikke hvorfor det kan være minus? lessgtr skal bety at y kan være både mindre og større enn 0altså begge krokodilletegn både < og >. Fant ikke uttrykket i tex.

så skriver boken at c=0. Kan den ikke bare det når c* går mot minus uendelig? De skriver at de velger c=0. Skjønner ikke helt det. Burde kanskje sett noen eksempler på det før jeg spør men fant ingen i delkapittelet hvor c ble valgt til 0.

[tex]\int \frac{1}{x}dx=\ln|x| +C[/tex]. Man kan ikke ta logaritmen til negative tall, der er derfor man skriver det slik.

Man bruker ofte formelen [tex]\frac{d\ln(x)}{dx}=\frac{1}{x}[/tex], men det er under forutsetning av at x er positiv, ellers ville ikke logaritmen vært definert.

Videre får man at

[tex]|y|=e^{\ln|y|}=e^Ce^{-\int pdx}[/tex], noe som betyr at

[tex]y=\pm e^Ce^{-\int pdx}[/tex].

(Generelt har man for reelle tall (ikke komplekse) implikasjonene [tex]|w|=k\Leftrightarrow w=\pm k[/tex])

Konstanten C må beregnes utfra eventuelle startbetingelser gitt i oppgaven.