matematikk.net

Denne ulikheten skal alltid være positiv, men når jeg begynner med matte magien min, så er jeg ikke helt enig i det...

[tex]$$ - 1 \prec 4{x^2}$$[/tex]

[tex]$$ - {1 \over 4} \prec {x^2}$$[/tex]

[tex]$${1 \over 4} \prec - {x^2}$$[/tex]

[tex]$$ - \sqrt {{1 \over 4}} \succ x$$[/tex]

Har en følelse at jeg skal slutte å tenke som David Cooperfield, og heller begynne å støtte meg til regler

Razzy wrote:Denne ulikheten skal alltid være positiv, men når jeg begynner med matte magien min, så er jeg ikke helt enig i det...

[tex]$$ - 1 \prec 4{x^2}$$[/tex]

[tex]$$ - {1 \over 4} \prec {x^2}$$[/tex]

[tex]$${1 \over 4} \prec - {x^2}$$[/tex]

[tex]$$ - \sqrt {{1 \over 4}} \succ x$$[/tex]

Har en følelse at jeg skal slutte å tenke som David Cooperfield, og heller begynne å støtte meg til regler

Hmm... det ser jo nesten ut som den kan være begge deler ut fra løsningen din, det jeg ser umiddelbart er, husk at [tex]x^2=u[/tex] har to løsninger: [tex]x^2=\pm \sqrt u[/tex] Det forandrer vel saken litt...

Hvor har du det fra at den skal alttid være positiv?

Microsoft Mathematics sier [tex]x \in R [/tex] altså alle reelle tall når jeg skrev inn den ligningen...

Og wxMaxima sier: "true for all x"

edit: maxima er enig med Microsoft...

Her er mattemagien min :

[tex] -1 < 4x^2 \\ -\frac 14 < x^2 \\ - \pm \sqrt {\frac 14 } <x \\ x> \pm \frac 12 [/tex] Hmm ... , det var et rart svar.

mstud wrote:Hvor har du det fra at den skal alttid være positiv?

Microsoft Mathematics sier [tex]x \in R [/tex] altså alle reelle tall når jeg skrev inn den ligningen...

Ligningen så opprinnelig slik ut: [tex]$$ - 1 \prec 4{x^2} \prec 1$$[/tex] (oppgaven handler om å bestemme for hvilke verdier av x en rekke konvergerer)

Dermed tenkte jeg som følgende:

[tex]$$4{x^2} \prec 1$$[/tex]

[tex]$${x^2} \prec {1 \over 4}$$[/tex]

[tex]$$x \prec \sqrt {{1 \over 4}} = x \prec {1 \over 2}$$[/tex]


Den andre delen blir:

[tex]$$ - 1 \prec 4{x^2}$$[/tex]

Men her stoppet læreren og sa "her ser vi at ligningen alltid blir positiv, så denne trenger vi ikke å regne ut (pga x er opphøyd i andrepotens)"

Godt mulig det kommer av at vi har:

Det var merkelig sagt, men kanskje det er mulig læreren mener dobbeltulikheten gjelder for alle x ?? ...

Hvilket område kan x ligge i når vi har [tex]x< \frac 12 [/tex] og [tex]x> -\frac 12[/tex] ...

svar : (når x skal være større enn -1/2 , slik jeg fikk og mindre enn 1/2, alle verdier av x)

Dessuten, når x>-1/2 slik jeg fikk ut av ligningen din er x i hvert fall stort sett positiv...

Hva tror du?

Razzy wrote:Denne ulikheten skal alltid være positiv, men når jeg begynner med matte magien min, så er jeg ikke helt enig i det...

[tex]$$ - 1 \prec 4{x^2}$$[/tex]

[tex]$$ - {1 \over 4} \prec {x^2}$$[/tex]

[tex]$${1 \over 4} \prec - {x^2}$$[/tex]

[tex]$$ - \sqrt {{1 \over 4}} \succ x$$[/tex]

[tex]$$ - 1 \prec 4{x^2}$$[/tex]

[tex]$$ - {1 \over 4} \prec {x^2}$$[/tex]

Herfra får vi to valgmuligheter:

[tex]Nr 1: \sqrt { - {1 \over 4}} \prec \sqrt {{x^2}} [/tex] (Blindvei!) eller vi kan; [tex] Nr 2: {1 \over 4} \succ - {x^2} [/tex]

[tex]Nr 2: \sqrt {{1 \over 4}} \succ \sqrt { - {x^2}} [/tex] (Blindvei!)

Det er ikke noe poeng i å prøve å løse [tex]4x^2 > -1[/tex]. Når du opphøyer noe i andre så må det bli positivt. Kan du tenke deg en forklaring på hvorfor?

Med andre ord, ulikheten [tex]4x^2 > - 1[/tex] uttrykker at [tex]4x^2[/tex] er større enn -1. For hvilke x gjelder det? Jo, det må være alle x, siden uansett hva du opphøyer i andre, får du noe som er positivt (og altså større enn -1).

Den andre ulikheten kan du løse på vanlig måte, dvs. å flytte over, faktorisere og lage et fortegnsskjema.

Vektormannen , du var den rette mannen til å komme hit nå, for også denne gang ser jeg at når jeg gjør slik jeg pleier (vet det ikke er lov) så er det da jeg får det rette svaret, se her: http://www.wolframalpha.com/input/?i=-1 ... 1&t=ietb01

Min "løsning", hvorfor gir den rett svar når fremgangsmåten er feil? :

[tex]-1<4x^2<1 \\ -\frac 14 < x^2 < \frac 14 \\ -\sqrt {\frac 14}<x^2 < \sqrt{\frac 14} \\ -\frac 12 <x < \frac 12[/tex]

Har dette med å gjøre at i x^2 kan x være enten positiv eller negativ?

For å bare løse siste ulikheten gir i hvert fall meg (v. regning uten ligningen og fortegnslinje ) : [tex]x^2< \frac 14 \\ x< \pm \frac 12[/tex] altså x< begge, og ingen antydning til at man må skifte fortegn der ut fra det algebraiske...

HAr du noen synspunkter på det?

Vektormannen wrote:Det er ikke noe poeng i å prøve å løse [tex]4x^2 > -1[/tex]. Når du opphøyer noe i andre så må det bli positivt. Kan du tenke deg en forklaring på hvorfor?

Med andre ord, ulikheten [tex]4x^2 > - 1[/tex] uttrykker at [tex]4x^2[/tex] er større enn -1. For hvilke x gjelder det? Jo, det må være alle x, siden uansett hva du opphøyer i andre, får du noe som er positivt (og altså større enn -1).

Den andre ulikheten kan du løse på vanlig måte, dvs. å flytte over, faktorisere og lage et fortegnsskjema.

Ok, takk for oppklaringen!

Vektormannen wrote:Når du opphøyer noe i andre så må det bli positivt. Kan du tenke deg en forklaring på hvorfor?

nok et tilfelle av: "sånn er det bare"

Tenk deg at du har lyst å prøve å finne et tall som er slik at når du opphøyer det i andre så blir resultatet negativt. Husk at å opphøye i andre er det samme som å gange tallet med seg selv. Uansett hvilket tall du prøver (utenom 0 da) vil enten være negativt eller positivt. Hvis tallet er positivt får du også noe positivt når du opphøyer i andre. Hvis tallet er negativt får du produktet av to negative tall når du opphøyer i andre. Men det blir jo også positivt.

Hm... hvorfor blir alt jeg skriver blanke innlegg nå?
(Beklager, selv om det ikke var min feil at de ble det)


Prøvde å spørre hvorfor dette gir rett svar (iflg. svaret WolframAlpha gir):

[tex]-1<4x^2<1[/tex] [tex] -\frac 14 < x^2 < \frac 14 [/tex] [tex] - \sqrt {\frac 14} < \sqrt{\frac 14} [/tex] [tex]-\frac 12 < x <\frac 12[/tex]

Mens, så vidt jeg kan se [tex]x^2<1[/tex] gir (algebraisk, uten fortegnslinje) [tex]x< \pm \frac 12[/tex]

Vektormannen wrote:Tenk deg at du har lyst å prøve å finne et tall som er slik at når du opphøyer det i andre så blir resultatet negativt. Husk at å opphøye i andre er det samme som å gange tallet med seg selv. Uansett hvilket tall du prøver (utenom 0 da) vil enten være negativt eller positivt. Hvis tallet er positivt får du også noe positivt når du opphøyer i andre. Hvis tallet er negativt får du produktet av to negative tall når du opphøyer i andre. Men det blir jo også positivt.

Flott! Da skjønner jeg at prinsippet med å opphøye noe i andre (gange med seg selv), vil alltid ende positivt (for minus og minus gir pluss).

mstud wrote:Prøvde å spørre hvorfor dette gir rett svar (iflg. svaret WolframAlpha gir):

[tex]-1<4x^2<1[/tex] [tex] -\frac 14 < x^2 < \frac 14 [/tex] [tex] - \sqrt {\frac 14} < \sqrt{\frac 14} [/tex] [tex]-\frac 12 < x <\frac 12[/tex]

Mens, så vidt jeg kan se [tex]x^2<1[/tex] gir (algebraisk, uten fortegnslinje) [tex]x< \pm \frac 12[/tex]

Jeg ser fasiten (som jeg akkurat fant), har løst denne oppgaven på denne måten (også slik Vektormannen forslo med bruk av fortegnslinje)

[tex]$$4{x^2} \prec 1$$[/tex]

[tex]$$4{x^2} - 1 \prec 0$$[/tex]

[tex]$$\left( {2x + 1} \right)\left( {2x - 1} \right) \prec 0$$[/tex]

Deretter satt dette inn i en fortegnslinje.

MEN, som mstud skrev: [tex]x^2<1[/tex] gir (algebraisk, uten fortegnslinje) [tex]x< \pm \frac 12[/tex] Kunne denne oppgaven vært løst uten fortegnslinje, ergo spart en halv side med ark!

mstud wrote:Hm... hvorfor blir alt jeg skriver blanke innlegg nå?
(Beklager, selv om det ikke var min feil at de ble det)


Prøvde å spørre hvorfor dette gir rett svar (iflg. svaret WolframAlpha gir):

[tex]-1<4x^2<1[/tex] [tex] -\frac 14 < x^2 < \frac 14 [/tex] [tex] - \sqrt {\frac 14} < \sqrt{\frac 14} [/tex] [tex]-\frac 12 < x <\frac 12[/tex]

Mens, så vidt jeg kan se [tex]x^2<1[/tex] gir (algebraisk, uten fortegnslinje) [tex]x< \pm \frac 12[/tex]

Problemet kommer av at du antageligvis gjør noe slikt:

[tex]x^2 < \frac{1}{4}[/tex]

[tex]x < \pm \frac{1}{2}[/tex]

Dette går ikke. Kvadratroten av et tall er per definisjon kun positivt. I en ligning stemmer det at hvis [tex]x^2[/tex] er lik et eller annet tall [tex]a^2[/tex], så vil både [tex]x = -a[/tex] og [tex]x=a[/tex] være løsninger på ligningen. Men kvadratroten av [tex]a^2[/tex] er kun [tex]a[/tex].

Den korrekte måten å behandle denne ulikheten på algebraisk er å bruke at hvis [tex]x^2 < \frac{1}{4}[/tex] så må absoluttverdien av x være slik at [tex]|x| < \frac{1}{2}[/tex]. En annen måte å si det på er at [tex]-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}[/tex].

Var det jeg lurte på ja, for x kan jo være enten positiv eller negativ, i x^2 det vet vi jo ikke, så dermed skal jeg bruke |x| , det var det jeg begynte å lure på i sted om var den rette metoden.

(Det har jeg imidlertid lurt på lenge før jeg visste hva absoluttverdi var

og fant derfor ut at det alltid ga rett svar å jukse med den siden der det ble kvadratroten av et negativt tall å skrive minusen utenfor, slik [tex]x^2=-\frac 14 \\ x=-\sqrt {\frac 14}[/tex] , selv om jeg visste at det egntlig var feil fordi kvadratrøtter var positive alltid ... )

Så, tusen takk Vektormannen nå slipper jeg å fortsette med slike merkelige ulovligheter for å få rett svar

Tusen takk igjen