Vise likhet

[Nebuchadnezzar]

Jeg skal vise at

[tex]\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln \left( {\sin \left( x \right)} \right)} dx = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln \left( {\sin \left( {2x} \right)} \right)} dx[/tex]

Noen tips? Har prøvd det meste, men det fører ikke frem.

[Janhaa]

står det noe her...

http://rbmix.com/problem/int/int.php

[Nebuchadnezzar]

Akkuratt det problemet jeg holder på med, er den siste biten som gjør at problemet ikke går opp. Sliter fryktelig med å se overgangen fra linje 2 til 3. Noen tips? Ellers så er utregningen min omtrent identisk med linken ^^

[Gustav]

Bruk at sin(x) er symmetrisk om [tex]x=\frac{\pi}{2}[/tex]

[Nebuchadnezzar]

Etter en del tenking kommer jeg frem til at det du sier er helt riktig. Vil dette argumentet her fungere?

Vi ser at funksjonen [tex]f(x)=ln(sin(x))[/tex] er symmetrisk om [tex]x=\frac{\pi}{2}[/tex] siden
[tex]f(\frac{\pi}{2}+x)=f(\frac{\pi}{2}-x)[/tex] er like


Videre ser vi at

[tex]\int\limits_0^\pi {\ln \left( {\sin \left( {2u} \right)} \right)du} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln \left( {\sin \left( {2u} \right)} \right)du} + \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\ln \left( {\sin \left( {2u} \right)} \right)du}[/tex]

Siden funksjonen er symmetrisk om [tex]x=\frac{\pi}{2}[/tex] er

[tex]\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln \left( {\sin \left( {2u} \right)} \right)du} = \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\ln \left( {\sin \left( {2u} \right)} \right)du} [/tex]

Vi får da at

[tex] \int\limits_0^\pi {\ln \left( {\sin \left( {2u} \right)} \right)du} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln \left( {\sin \left( {2u} \right)} \right)du} + \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\ln \left( {\sin \left( {2u} \right)} \right)du} [/tex]

[tex] \int\limits_0^\pi {\ln \left( {\sin \left( {2u} \right)} \right)du} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln \left( {\sin \left( {2u} \right)} \right)du} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln \left( {\sin \left( {2u} \right)} \right)du} [/tex]

[tex] \int\limits_0^\pi {\ln \left( {\sin \left( {2u} \right)} \right)du} = 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln \left( {\sin \left( {2u} \right)} \right)du} [/tex]

Som var det vi ønsket å vise.

Vet at ikke det er hele beviset, men valgte her å bare gjøre den vanskelige biten. Bare lurer på om dette argumentet holder. Vil ha et rent algebrabevis som ikke baserer seg på at man skal tolke arealet utifra en graf

EDIT: Yay 1500 Innlegg med dumme spørsmål...

[Gustav]

Vel, det eneste du trenger å gjøre er å skrive

[tex]\int_{0}^{\pi} \ln(\sin(x))dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin(x))dx+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \ln(\sin(x))dx[/tex]

I det siste integralet, foreta variabelskiftet [tex]x=-u+\pi[/tex]:

[tex]\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin(x))dx+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \ln(\sin(x))dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin(x))dx+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin(-u+\pi))du[/tex]

Ved å bruke identiteten [tex]\sin(-u+\pi)=\sin(u)[/tex] fås likheten

[tex]\int_{0}^{\pi} \ln(\sin(x))dx=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin(x))dx[/tex]

Dette er vel det algebraiske beviset som er ekvivalent med observasjonen om at sin(x) er symmetrisk om x=pi/2.