Kompleks transformasjon/mapping

[krje1980]

Hei. Jeg står litt fast på følgende oppgave:

Show that the transformation:

[tex]w= \sqrt{\frac{r_1}{r_2}}\exp \frac{i(\Theta_1 - \Theta_2)}{2}[/tex]

maps the region outside the unit circle [tex]|z|=1[/tex] in the upper half of the [tex]z[/tex] plane onto the region in the first quadrant of the [tex]w[/tex] plane between the line [tex]v=u[/tex] and the [tex]u[/tex] axis.


OK. Jeg har tenkt som følger:

I og med at vi har definert et område i øvre del av [tex]z[/tex] planet må:

[tex]0 \leq \Theta_1 + \Theta_2 \leq \pi[/tex]

Men vil ikke denne transformasjonen i [tex]w[/tex] planet være gyldig i hele første kvadrant, og ikke kun under linjen [tex]v=u[/tex]? Sett at f.eks. [tex]\Theta_1 = \pi[/tex] og [tex]\Theta_2 = 0[/tex]. Da vil jo uttrykket for [tex]w[/tex] bli:

[tex]w = \sqrt{\frac{r_1}{r_2}}\exp \frac{i\pi}{2}[/tex] som jo er [tex]v[/tex] aksen i uv-planet. Altså er dette over linjen [tex]u=v[/tex]

Setter stor pris på om noen kan forklare meg hva jeg gjør feil i resonnementet her. Noe må det jo være

[Gustav]

Er både [tex]\Theta_1[/tex], [tex]\Theta_1[/tex] [tex]r_1[/tex] og [tex]r_2[/tex] variable? I så fall, er ikke da [tex]w:\mathbb{C}\times \mathbb{C}\to\mathbb{C}[/tex] ?

[krje1980]

Hei.

Jeg ser at jeg kan supplere med litt mer informasjon (oppgaven er nemlig en videreføring av en tidligere oppgave)

Den egentlige transformasjonen er:

[tex]w = \left(\frac{z-1}{z+1}\right)^{1/2} = \sqrt{\frac{r_1}{r_2}}\exp \frac{i(\Theta_1 - \Theta_2)}{2}[/tex]

Hvor

[tex]Z = \frac{z-1}{z+1}[/tex]

og:

[tex]w = Z^{1/2}[/tex]

videre har vi:

[tex]z-1 = r_1 e^{(i\Theta_1)}[/tex]

[tex]z+1 = r_2 e^{(i\Theta_2)}[/tex]

[krje1980]

Anybody? Det er mulig at jeg har misforstått det plutarco skrev, og at han gir meg svaret der, men jeg er ikke helt kjent med den notasjonen han bruker. Trodde kanskje han mente at jeg skulle utdype mer om hvordan variablene er definert.

[Gustav]

La [tex]\frac{z-1}{z+1}=ae^{bi}[/tex] . [tex]a=|\frac{z-1}{z+1}|> 0[/tex]

La [tex]z=c+id[/tex]:

[tex]\frac{z-1}{z+1}=\frac{c-1+id}{c+1+id}=\frac{c^2+d^2-1+2di}{(c+1)^2+d^2}=\frac{c^2+d^2-1}{(c+1)^2+d^2}+\frac{2d}{(c+1)^2+d^2}i[/tex]

Vi har at

[tex]b=\arctan{\frac{2d}{c^2+d^2-1}}[/tex] med [tex]c^2+d^2> 1[/tex] og [tex]d> 0[/tex] . [tex]b[/tex] er da en positiv vinkel på mellom 0 og [tex]\frac{\pi}{2}[/tex].

[tex]w=\sqrt{a}e^{\frac{bi}{2}}[/tex] som gir et komplekst tall med en vinkel på mellom 0 og [tex]\frac{\pi}{4}[/tex].

[krje1980]

Tusen takk!