matematikk.net

Lurer på oppgaveløsning med å redusere en matrise for å finne et svar på ligningsystemet


[tex] ax_1+ bx_2 + cx_3 = y_1 [/tex]
[tex] dx_1 + ex_2 + fx_3 = y_2 [/tex]
[tex] gx_1 + hx_2+ ix_3 = y_3 [/tex]
[tex] jx_1 + kx_2 + lx_3 = y_4 [/tex]

hvis man får en rad med to ukjente eller mer lik et tall er det uendelig mange løsninger. Hvis det er en rad med bare 0 for alle variable [tex]x_n[/tex] lik et tall
[tex]y_n[/tex] på høyre side er det ingen løsninger. Dersom en variabel [tex]x_n[/tex] er lik en verdi for [tex]y_n[/tex] er det bare en løsning.

Man løser systemet ved elementære radoperasjoner:

1: Bytte to rekker med hverandre
2: legge en rekke til en annen
3: gange en rekke med en konstant

Synes det er grei fremgangsmåte å huske reglene til men jeg får alltid feil svar

ender med en løsning istedenfor uendelig mange for eksempel.

for eksempel hvordan ville noen ha orientert seg for å løse dette ligningssystemet som skal gi uendelig mange løsninger og ha ne rad med bare 0 i seg

3 -6 1 13 15
3 -6 3 21 21
2 -4 5 26 23


i forhold til dette som og skal gi uendelig mange løsninger men som ikke har noen rad med bare 0 i seg:

2 4 -1 -2 2 6
1 3 2 -7 3 9
5 8 -7 6 1 4

Noen som har noen gode innfalsvinkler il hvordan man ser hvor langt man kan forenkle matriser er egentlig det jeg altså lurer på:)

Du kan sjekke den radreduserte matrisen du har med den opprinnelige matrisen, og du kan av og til se avhengigheter mellom kolonnene.

Kan se litt på den første matrisen din.
3 -6 1 13 15
3 -6 3 21 21
2 -4 5 26 23

Her ser man ganske raskt at den andre kolonnen er den første kolonnen multiplisert med (-2).
[tex](-2)\begin{bmatrix}3\\ 3\\ 2\end{bmatrix} \;=\; \begin{bmatrix}-6\\ -6\\ -4\end{bmatrix}[/tex]
Du har altså en avhengighet mellom disse kolonnene. Da vet du at i den radreduserte matrisen, så vil de to først kolonnene være:
[tex]\begin{bmatrix}1 & -2\\ 0 & 0\\ 0 & 0\end{bmatrix}[/tex]
Med denne observasjonen tror jeg du klarer å sikre deg mot mange slurvefeil.

Det er ikke noe tall du kan multiplisere den første kolonnen med for å få den tredje kolonnen (og den andre kolonnen avhenger av den første, så du trenger ikke sjekke den). Det er ingen avhengighet mellom disse kolonnene, så da vet du neste kolonne i den radreduserte matrisen.
[tex]\begin{bmatrix}1 & -2 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}[/tex]

(Det kjappest er forresten å bare se etter avhengigheter i den første raden, og så se om den samme avhengigheten gjelder for radene under).

I matrisen vi ser på nå, avhenger de to siste kolonnene på den første og tredje kolonnen. Er ikke så enkelt å se, men fort gjort å sjekke når du har den radreduserte matrisen (om du har gjort det riktig). Hvis du ikke får det til å stemme, har du sannsynligvis gjort en feil i de elementære radoperasjonene.
[tex](3)\begin{bmatrix}3\\ 3\\ 2\end{bmatrix} \;+\; (4)\begin{bmatrix}1\\ 3\\ 5\end{bmatrix} \;=\; \begin{bmatrix}9\\ 9\\ 6\end{bmatrix} \;+\; \begin{bmatrix}4\\ 12\\ 20\end{bmatrix} \;=\; \begin{bmatrix}13\\ 21\\ 26\end{bmatrix}[/tex]

[tex](4)\begin{bmatrix}3\\ 3\\ 2\end{bmatrix} \;+\; (3)\begin{bmatrix}1\\ 3\\ 5\end{bmatrix} \;=\; \begin{bmatrix}12\\ 12\\ 8\end{bmatrix} \;+\; \begin{bmatrix}3\\ 9\\ 15\end{bmatrix} \;=\; \begin{bmatrix}15\\ 21\\ 23\end{bmatrix}[/tex]

Da ser du at den radreduserte matrisen skal være:
[tex]\begin{bmatrix}1 & -2 & 0 & 3 & 4\\ 0 & 0 & 1 & 4 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}[/tex]

Hvordan bruker du at kolonnenene er lineært avhengige til å redusere radene. Jeg tenkte liksom på å se på avhengighet mellom radene. Jeg vet forresten at antalt lineært uavhengige kolonner og rader i en matrise er like mange uten at jeg kan vise det og da kan jeg uansett ikke benytte det til å løse ligningssystemet men bruker man det når man tar utgangspunkt i kolonnesystemet? for å redusere systemet?

Tenk på det som elementære radoperasjoner. Jeg ganget rad I med en tredjedel:
(1/3)*I
også tok jeg:
II - 3*I
og
III - 2*I.

Da har du fått
[tex]\begin{bmatrix}1%20&%20-2\\%200%20&%200\\%200%20&%200\end{bmatrix}[/tex]

Det er sånn du må radredusere matrisen. Jeg bare forklarte hvordan man kan 'se' at det blir sånn før man radreduserer den.

men på den andre matrisen hvor du leggersammen to og to kolonner blir det ikke da sånn at en kolonne blir vist lineært avhengig og du står igjen med tre lineært uavhengige? Jeg tenkte jeg kunne tenke sånn at antall lineært uavhengige kolonner var lik antall lineært uvhengige rader etterpå?

Tror ikke jeg skjønner helt hva du mener.

De to siste kolonnene er lineært avhengige av de to første kolonnene nettopp fordi de kan skrives som en sum av dem!

Når du skal radredusere matriser så er det ikke så viktig å huske at radene og kolonnene har like mange pivotelementer. Mitt råd er å fokusere på kolonnene og sjekke svaret ditt ved å se om kolonnene i den opprinnelige matrisen svarer til kolonnene i den radreduserte matrisen du fant.