matematikk.net

La [tex]F[/tex] være mengden av alle bijeksjoner fra [tex]K[/tex] til [tex]K[/tex], der [tex]K[/tex] er en kropp. Definer for alle [tex]f,g\in F[/tex] , [tex]x\in K[/tex]:

[tex](f+g)(x)=f(x)+g(x)[/tex]

[tex](fg)(x)=(f\circ g)(x)[/tex]

Og definer [tex]G\subset F[/tex] slik at for alle [tex]f,g\in G[/tex] gjelder

[tex](f\circ g)(x)=(g\circ f)(x)[/tex]

Da er [tex]G[/tex] en kommutativ ring der alle elementer har en multiplikativ invers, og [tex]G[/tex] danner dermed en kropp.

Den eneste familien av funksjoner jeg finner som er inneholdt i [tex]G[/tex] er [tex]f(x)=ax[/tex], der [tex]a\in K[/tex].

Vet noen om andre funksjoner som tilfredsstiller kravet, eller eventuellt en smartere måte å lage [tex]G[/tex] på?

Du har ingen additiv identiet i ikke-trivielle tileller, saa dette er ingen kropp. Du kan dog godt lage deg en gruppe av det under komposisjon, og da ser du paa en undergruppe av gruppa av permutasjoner av K. I en kropp av karakteristikk to er x^2 et greit eksempel, men en 'generell permutasjon' kan jo se veldig rar ut.

Hva om vi tvinger inn den additive identiteten ved å definere [tex]G[/tex] til å inneholde [tex]f(x)=0[/tex]?

Generelt er vel ikke summen av to permutasjoner en permutasjon heller, og selv da er det for meg ikke opplagt at komposisjon er distributivt over addisjon. En mulig finere ting du kan gjoere er aa definere multiplikasjon punktvis, men er du interessert i permutasjoner er det jo ikke like naturlig.