matematikk.net

Jeg lurer på andre spørsmål i eksamensoppgave 5c.

Altså Finn, for eksempel ved å gjøre bruk av u, en betingelse som b1, b2, b3, b4 må oppfylle dersom ligningssystemet Ax=b bare skal ha en løsning. Resten av informasjonen står i linken:

http://bildr.no/view/870258


Oppgaven er den siste

Jeg vet ikke hvilket theorem de bruker fra oensum en gang. Hvis noen kunne forklart meg det hadde det vært til stor hjelp!

Fra oppgaveteksen alene vet du at A vil være singulær. Ettersom det ortogonale komplementet til radrommet er 1-dimensjonalt (oppgitt), vet vi at den radreduserte formen av A vil ha én tom rad og tre lineært uavhengige rader.

Oppgaven din blir å velge b[sub]1[/sub],...,b[sub]4[/sub] slik at du ikke får en rad som f.eks (0 0 0 0 0 1) når du radreduserer den augmenterte matrisen til systemet.

Ja Jeg skjønte hva du mente med å redusere den augmenterte matrisen og se om det bare blir en x-kolonnevektor som gir svar ved en gitt kolonnevektor b.

men i fasiten bruker de u som skal være ortogonal til alle kolonnevektorene som argument og sier at Ax=b har løsning bare hvis b er i kolonnerommet Col(A). Og da henger jeg ikke med. Her er fasit:

http://bildr.no/view/870689

Ja, det stemmer. Kolonnerommet til A er jo nettopp bildet til den lineære transformasjonen som A representerer. Du kan verifisere at uansett hvilken x du putter inn, får du ut en lineær kombinasjon av kolonnevektorene, altså en vektor i kolonnerommet.

Hvis du har et vektorrom, her [tex]\mathbb{R}^4[/tex], og du har et underrom [tex]U\subseteq \mathbb{R}^4[/tex], vil alle vektorer i [tex]\mathbb{R}^4[/tex] kunne uttrykkes unikt som en lineær kombinasjon av vektorer i [tex]U[/tex] og vektorer i [tex]U^{\perp}[/tex]. Her er [tex]U=\text{col}(A)[/tex] for en matrise [tex]A[/tex]. Er du enig i at [tex]v\in \text{col}(A)[/tex] for en [tex]v\in\mathbb{R}^4[/tex] er ekvivalent med at [tex]\text{proj}_{\text{col}(A)^{\perp}}v=0[/tex]?

Hvis du er enig i dette, kan du da si noe vettugt om b?

Ok! jeg bare lurer på en ting for at dette skal gå opp for meg så må rommet som kolonnene skape være et plan i rommet. Hvordan skal man ellers ha en vektor ortogonalt til dem. Vil et kolonnerom alltid skape et plan i rommet? Trenger man egentlig ikke bare to vektorer for det. Eller tar jeg feil? En basis består jo av minste antall vektorer som trengs for å skape et rom. Stort sett det jeg lurte på da

Neida, du kan snakke om ortogonale ting til ting som ikke er plan også. Det ortogonale komplementet til et vektorrom V er alle vektorer u slik at [tex]u \cdot v = 0[/tex] for alle vektorer v i V. For et plan gjennom origo er dette bare en linje som står normalt på planet gjennom origo, så ortogonalt komplement er på en måte en generalisering av dette.

Ok, jeg tror jeg forstår problemet. Saken er at ortogonalitet i konteksten av plan i 3 dimensjoner er kun et spesialtilfelle av et mer generellt begrep om ortogonalitet. Generellt sier vi at to vektorer [tex]u,v[/tex] i et indreproduktrom er ortogonale dersom indreproduktet mellom dem er lik 0, dvs. [tex]\< u,v \> = 0[/tex]. Under det standard indreproduktet for [tex]\mathbb{R}^n[/tex] vil dette si at [tex]\< u,v\>=\sum_{i=1}^n u_iv_i =0[/tex] der [tex]u=(u_1,u_2,...,u_n)[/tex] og [tex]v=(v_1,v_2,...,v_n)[/tex].

klarer ikke å forestille meg vektorer som står normalt på mer enn et plan. Skulle hatt en pc-program som kunne ha vist dette for min del

Vi snakker ikke nødvendigvis om plan i 3-dimensjonalt rom, men i om m-dimensjonale underrom av n-dimensjonale vektorrom. Et plan i rommet er et spesialtilfelle, et 2-dimensjonalt underrom i et 3-dimensjonalt vektorrom. Ingen jeg kjenner klarer å forestille seg et rom med høyere dimensjon enn 3 (eller med lavere dimensjon for den del). Det er derfor vi stoler på vår algebraiske intuisjon og rigorøse utledninger heller enn vår geometriske forestillingsevne når vi jobber i n-dimensjonalt rom.

Ok