Irrasjonelle potenser og potenser generellt.

[Nebuchadnezzar]

Ser på meg selv som en person som klarer å se for meg ganske mye innen matematikken. For eksempel er forståelsen for [tex]x^2[/tex] ganske grei. Det er det samme som [tex]x[/tex] ganget med [tex]x[/tex]. Eller [tex] x \cdot x [/tex]. Videre så sier vi at x^n er det samme som [tex]x[/tex] ganget med [tex]x[/tex] , n-ganger.

Samme med kvadratrøtter og røtter generelt. For eksempel er [tex]\sqrt[m]{x}=a [/tex]
det samme som at vi må gange x med x a ganger for å få m.

Med hva er forståelsen for [tex]e^{\pi}[/tex] og [tex]{\pi}^e[/tex] ?

Hvordan kan jeg gange et tall med seg selv pi ganger? Gir ikke mye mening i mine øyne, eller hodet. Noen som kan begi seg utpå en enkel forklaring? Har holdt med våken en natt eller to nå...


Hvordan kan jeg vite hva som er størst av

[tex]\sqrt[e]{e}[/tex] og [tex]\sqrt[\pi]{\pi}[/tex] ?

[drgz]

Kanskje enklere å se hva som er størst hvis du heller skriver som[tex]\sqrt[e]{e}=e^{\frac1e}[/tex] og [tex]\sqrt[\pi]{\pi}=\pi^{\frac{1}{\pi}}[/tex]. Sett inn ca-tallverdi for variablene, og du kan enklere finne ut hva som er størst.

[Nebuchadnezzar]

Selvfølgelig skal dette bli gjort uten bruk av kalkulator

Tror jeg har funnet ut av i det minste det siste spørsmålaet, angående hva som er størst. Men første del av det jeg lurte på står fortsatt.

Spørsmålet er kort og greit

Hvordan er det mulig å gange et tall med seg selv n ganger, når n ikke er et heltall?

For eksempel hvordan er det mulig å gange e, med seg selv pi ganger?

Altså [tex]e^{\pi}[/tex] eller [tex]\sqrt[\pi]{e}[/tex]

[Gustav]

Selvfølgelig skal dette bli gjort uten bruk av kalkulator

Tror jeg har funnet ut av i det minste det siste spørsmålaet, angående hva som er størst. Men første del av det jeg lurte på står fortsatt.

Spørsmålet er kort og greit

Hvordan er det mulig å gange et tall med seg selv n ganger, når n ikke er et heltall?

For eksempel hvordan er det mulig å gange e, med seg selv pi ganger?

Det du spør om er hvordan [tex]k^{x}[/tex] er definert når [tex]x[/tex] ikke er et heltall. Én måte er jo via den konvergente Taylorrekka til [tex]e^x[/tex], siden [tex]k^x=e^{x\ln{k}}[/tex]

[Nebuchadnezzar]

Nå føler jeg meg dum, men ja nå ser jeg det selvfølgelig. Vi kan finne en tilnærmingverdi ved å se på taylorrekka. Fiklet litt med tanken på tilnærminger men fant ingen god maskinvennlig metode å gjøre dette på.

Angående den rot-oppgaven er den litt artig.

Hva er størst av [tex]\Large \sqrt[e]{e}[/tex] og [tex]\Large \sqrt[\pi]{\pi}[/tex] ?

Vi kan generalisere ved se på funksjonen[tex] f(n)=\sqrt[n]{n}=n^{\frac{1}{n}}[/tex]. Deriverer vi denne ser vi at funksjonen har et toppunkt når [tex]x=e[/tex]

Som gir at den største verdien funksjonen kan ha nemlig er [tex]\Large \sqrt[e]{e}[/tex]. Dermed er [tex]\Large \sqrt[e]{e}[/tex] åpenbart større enn [tex]\Large \sqrt[\pi]{\pi}[/tex].