matematikk.net

parameterisering. En hypocycloid er gitt som hvis en lten sirkel ruller langs omkretsen til en større sirkel er hypocycloiden alle punkter som omketsen til den lille sirkelen berører mens den ruller.

Ligningen til den store sirkelen er:

[tex]x^2+y^2=a^2[/tex] (1)

Fra def for radianer har vi at buelengden som den lille sirkelen ruller langs den store er:

[tex]a\theta[/tex] som jeg så fra (1) når y=0 for da ser man at a er radius til den store kulen. Man skal finne en parametrisk ligning for hypocycloiden. Som jeg ikke aner hvordan man gjør. I fasit skriver de at



[tex]\phi[/tex] er vinkel den lille kulen beveger seg med med klokken (jeg skjønner ikke hvorfor det er med klokken nei)

og så skriver de sammenhengen

[tex]a\theta=b(\phi+\theta)[/tex] hvor b er radien til den lille kulen.

De har og definert at b=a/4

jeg skjønner lite så jeg kunne jo spørre.

Her er oppgaven (oppgave 13):

http://bildr.no/view/873349

Og her er fasiten (oppgaven heter altså 9.6.13):

http://bildr.no/view/873350

Når den lille sirkelen ruller (med en ren rullebevegelse, dvs. uten at den glir) langs den store (mot klokka), vil et gitt punkt på sirkelen rotere med klokka. Posisjonen til den lille sirkelens senter er [tex]x=(a-b)\cos(\theta), \,y=(a-b)\sin(\theta)[/tex]. Den relative posisjonen (relativt den lille sirkelens senter) til et fast punkt på sirkelen er [tex]x=b\cos(\phi),\, y=b\sin(\phi)[/tex] der [tex]\phi[/tex] er definert som vinkelen til det faste punktet i forhold til x-aksen. Rullebetingelsen gir at [tex]b(\theta+\phi)=a\theta[/tex]. Måten å utlede den på er å tenke seg hvor mange grader det faste punktet har rotert rundt den lille sirkelens senter når den lille sirkelens senter har rotert [tex]\theta[/tex] grader om den store sirkelens senter. Siden det faste punktet må ha beveget seg like langt på den lille sirkelen som berøringspunktet mellom de to sirklene har beveget seg langs den store sirkelen, vil [tex]\frac{s}{2\pi a}=\frac{\theta}{2\pi}[/tex] og [tex]\frac{s}{2\pi b}=\frac{\theta+\phi}{2\pi}[/tex]. Her har vi brukt forholdene mellom vinkler og sirkelsegmenter, og s er lengden berøringspunktet mellom sirkelene har beveget seg når den lille sirkelen har rotert [tex]\theta[/tex] grader mot klokka.