matematikk.net

Hei. Jeg står litt fast på følgende oppgave:

Gitt polynomet av grad n som tilfredsstiller rekursjonen:

[tex]T_{n+1}(x) = 2xT_{n}(x) - T_{n-1}(x)[/tex]

[tex]T_{0}(x) = 1[/tex]
[tex]T_{1}(x) = x[/tex]

Det er også mulig å skrive [tex]T_{n}(x) = cos(n{\Theta})[/tex] under variabelskiftet [tex]x = cos({\Theta})[/tex]

Finn alle røttene til [tex]T_{n}(x)[/tex] og vis at de er reelle og tar verdi i [-1, 1]

Her er jeg ikke helt sikker på hva jeg skal gjøre. Har ikke vært borti lignende oppgaver tidligere. Setter veldig stor pris på om noen kan gi meg noen tips!

Det er Chebyshevpolynomer; http://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev_polynomials

Litt lenger ned på siden står vel det du trenger å vite

Takk skal du ha

Hei igjen.

Jeg har sett på wikipedia-linken du hadde, men jeg er ikke helt med på det som står under røtter. Det står at:

Using the trigonometric definition and the fact that

[tex]cos(\frac{\pi}{2}(2k+1)) = 0[/tex]

One can easily prove that the roots of [tex]T_n[/tex] are

[tex]x_k = cos(\frac{\pi}{2}\frac{(2k - 1)}{n})[/tex]

[tex]k = 1, 2, . . ., n[/tex]


Jeg klarer imidlertid ikke helt å se denne sammenhengen. Jeg vet selvsat at det første uttrykket er 0, og jeg ser også at det andre uttrykket vil ha verdier i intervallet [-1, 1]. Men jeg klarer altså ikke helt å se hvordan man får dette andre uttrykket. Sannsynligvis er det noe veldig enkelt og elementært jeg overser her. Kanskje fordi jeg er sliten etter å ha jobbet med matte i hele dag . Setter derfor veldig stor pris på om noen kan vise meg logikken bak uttrykket for [tex]x_k[/tex]

Du vet at [tex]T_n(x) = \cos(n\mathrm{a}\cos(x))[/tex]

Røttene finner du når dette er lik null: (start med å bruke [tex]\mathrm{a}\cos(\cdot)[/tex] på begge sider av likhetstegnet)

[tex]cos(n\mathrm{a}\cos(x)) = 0 \\ n\mathrm{a}\cos(x) = \frac{pi}{2}(2k+1) \Rightarrow \mathrm{a}\cos(x) = \frac{\pi}{2}\cdot\frac{2k+1}{n} \Leftrightarrow x_k = \cos\left(\frac{\pi}{2}\cdot\frac{2k+1}{n}\right),\quad k\in\mathbb{Z}[/tex]

Blir vel det samme om en skriver [tex]2k+1[/tex] eller [tex]2k-1[/tex] i sluttsvaret.

Da skjønner jeg det! Igjen - tusen takk!