vi har en vektor r(t). Fart per tidsenhet er da:
dr/dt=v
akselrasjon per tidsenhet blir da:
dv/dt=a
Så hvis man skal derivere r med hensyn på lengde må man bruke kjerneregelen:
[tex]\frac{dr}{ds}=\frac{dr}{dt} \frac{dt}{ds} [/tex]
Her starter mine personlige grunninger (ta avstand den som vil:))
fra buelengdeformel har vi:
[tex]\int sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 + (\frac{dz}{dt})^2} dt[/tex]
som vi ser fra pytagoras i 3d.
derfor er
[tex]sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 + (\frac{dz}{dt})^2}=|v|=\frac{ds}{dt}[/tex]
Derfor får vi noe som kalles T
[tex]\frac{dr}{ds}=\frac{dr}{dt} \frac{dt}{ds} =\frac{v}{|v|}=T [/tex]
(hvis det er en grunn til at dr/ds blir dr/dt delt på lengden til v så kan gjerne noen forklare:))
som må ha samme retning som
[tex]\frac{dr}{dt}[/tex]
så deriverer man
T på s:
[tex]\frac{dT}{ds}=\frac{dT}{dt}\frac{dt}{ds}=\frac{dT}{dt}\frac{1}{|v|}[/tex]
hvis vi deler denne med lengden på seg selv får vi en vektor N:
[tex]\frac{\frac{dT}{dt}\frac{1}{|v|}}{|{\frac{dT}{dt}\frac{1}{|v|}|}[/tex]
som ganske enkelt skulle bli:
[tex]N=\frac{\frac{dT}{dt}}{|{\frac{dT}{dt}|}[/tex]
N skal alltid være normal til T som gir stigningstallet til kurven. Mens a skal gi akselrasjon i alle retninger. Langs T eller normalt på T. a er r(t) derivert med hensyn på t to ganger. N er r(t) derivert på hensyn med s de gode gamle meterene.
[tex]\frac{dr}{ds}=\frac{v}{|v|}[/tex]
så den har samme retning som v. Hvorfor har N og a forskjellig retning? Tenkte jeg skulle greie ut og prøve å forklare mine funderinger som jeg nå har gjort et forsøk på først. Og hvis noen klarer, eller orker, å lese seg igjennom er altså det spørsmålet mitt:)
forskjell på N og a
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Grunnen til at [tex]\frac{\rm{d}\vec{r}}{\rm{d}s}=\frac{\frac{\rm{d}\vec{r}}{\rm{d}t}}{\left|\frac{\rm{d}\vec{r}}{\rm{d}t}\right|}[/tex] er fordi parameteren [tex]s[/tex] er definert slik. 
Parameterisert av [tex]s[/tex] har en partikkel som følger kurven konstant hastighet lik 1.
Uttrykket ditt for [tex]\hat{N}[/tex] er galt. Det riktige uttrykket er [tex]\frac{\frac{\rm{d}\hat{T}}{\rm{d}t}}{\left|\frac{\rm{d}\hat{T}}{\rm{d}t}\right|}[/tex]. Hvis hastigheten langs kurven er konstant lik 1, er forskjellen mellom [tex]\vec{a}[/tex] og [tex]\hat{N}[/tex] kun multiplikasjon med en konstant, og denne konstanten kalles krumningen til kurven.
Parameterisert av [tex]s[/tex] har en partikkel som følger kurven konstant hastighet lik 1.Uttrykket ditt for [tex]\hat{N}[/tex] er galt. Det riktige uttrykket er [tex]\frac{\frac{\rm{d}\hat{T}}{\rm{d}t}}{\left|\frac{\rm{d}\hat{T}}{\rm{d}t}\right|}[/tex]. Hvis hastigheten langs kurven er konstant lik 1, er forskjellen mellom [tex]\vec{a}[/tex] og [tex]\hat{N}[/tex] kun multiplikasjon med en konstant, og denne konstanten kalles krumningen til kurven.
Du kan ikke vise hvorfor det er slik nettopp fordi det er slik parameteren s er definert. Det du kan gjøre er å utlede sammenhengen mellom [tex]t[/tex] og [tex]s[/tex] ut ifra denne definisjonen, og denne er gitt ved
[tex]\int_{0}^t |\vec{v}(t^\prime)|\rm{d}t^\prime=s(t)[/tex]
Merk at jeg her bruker [tex]t^\prime[/tex] som er integrasjonsvariabel, ikke som et derivasjonssymbol.
Merk også at det vi gjør her er å bruke kurvelengden som parameter.
Her er en oppgave til deg: Kan vi alltid finne [tex]t(s)[/tex] ([tex]t[/tex] som funksjon av [tex]s[/tex]) ut ifra denne definisjonen? Hvorfor/hvorfor ikke?
[tex]\int_{0}^t |\vec{v}(t^\prime)|\rm{d}t^\prime=s(t)[/tex]
Merk at jeg her bruker [tex]t^\prime[/tex] som er integrasjonsvariabel, ikke som et derivasjonssymbol.
Merk også at det vi gjør her er å bruke kurvelengden som parameter.
Her er en oppgave til deg: Kan vi alltid finne [tex]t(s)[/tex] ([tex]t[/tex] som funksjon av [tex]s[/tex]) ut ifra denne definisjonen? Hvorfor/hvorfor ikke?
[tex]|v(t)|=\frac{ds}{dt}[/tex]
[tex]\frac{dt}{ds}=\frac{1}{|v(t)|}[/tex]
da prøver jeg
[tex]t(s)=ln|v(t)| + C[/tex]
Måten jeg nå prøvde å skjønne at T har konstant hastighet er at
[tex]T=\frac{v}{|v|}[/tex]
dermed er lengden til T konstant 1 og den beveger seg 1 per tidsenhet. Blir det riktig?
[tex]\frac{dt}{ds}=\frac{1}{|v(t)|}[/tex]
da prøver jeg
[tex]t(s)=ln|v(t)| + C[/tex]
Måten jeg nå prøvde å skjønne at T har konstant hastighet er at
[tex]T=\frac{v}{|v|}[/tex]
dermed er lengden til T konstant 1 og den beveger seg 1 per tidsenhet. Blir det riktig?
ærbødigst Gill
[tex]|v(t)|=\frac{ds}{dt}[/tex]
[tex]\frac{dt}{ds}=\frac{1}{|v(t)|}[/tex]
dette må integreres men siden vi skal ha t som funksjon av s og uttrykket er
|v| av t må vi fjerne kjernen dt/ds og integrer for t?
[tex]t(s)=\frac{ln|v(t)|}{dt/ds}[/tex]
Blir det riktig?
[tex]\frac{dt}{ds}=\frac{1}{|v(t)|}[/tex]
dette må integreres men siden vi skal ha t som funksjon av s og uttrykket er
|v| av t må vi fjerne kjernen dt/ds og integrer for t?
[tex]t(s)=\frac{ln|v(t)|}{dt/ds}[/tex]
Blir det riktig?
ærbødigst Gill
Nei. Du har [tex]t(s)=\int_{0}^s \frac{1}{|\vec{v}(t(s^\prime))|}\rm{d}s^\prime=\int_{0}^s \frac{1}{\frac{\rm{d}\vec{r}}{\rm{d}t} (t(s^\prime))} \rm{d}s^\prime[/tex]
Dette er en såkalt integralligning, og det er umulig, så vidt jeg vet, å gjøre noe mer med denne før du har satt inn et uttrykk for [tex]|\vec{v}(t(s^\prime))|[/tex].
Du gjør dette for tungvindt. Alt jeg bad deg om var å gi et argument for at det er mulig å finne en funksjon [tex]t(s)[/tex], jeg sa ingenting om å faktisk finne den.
Dette er en såkalt integralligning, og det er umulig, så vidt jeg vet, å gjøre noe mer med denne før du har satt inn et uttrykk for [tex]|\vec{v}(t(s^\prime))|[/tex].
Du gjør dette for tungvindt. Alt jeg bad deg om var å gi et argument for at det er mulig å finne en funksjon [tex]t(s)[/tex], jeg sa ingenting om å faktisk finne den.