Bilineær transformasjon

[krje1980]

Hei.

Jeg er litt usikker på om jeg har gjort følgende oppgave riktig:

Finn en bilineær transformasjon som avbilder [tex]D = {z = x + iy, (y > 0)[/tex] til [tex]E = {w = u + iv, (u^{2} + v^{2} < 1)}[/tex] slik at [tex]z = i[/tex] blir avbildet til [tex]w=0[/tex] og [tex]z=\infty[/tex] blir avbildet til [tex]w=-1[/tex]

OK. Begynner med standarduttrykket for en bilineær transformasjon:

[tex]w = \frac{az + b}{cz + d}[/tex]

Først har vi at [tex]z= i[/tex] skal bli avbildet til [tex]w=0[/tex]. Dette gir:

[tex]0 = \frac{ai + b}{ci + d}[/tex]

[tex] 0 = ai + b[/tex]

[tex]b = -ai[/tex]

Altså kan vi nå skrive:

[tex]w = \frac{az - ai}{cz + d}[/tex]

Videre har vi for [tex]z=\infty[/tex] som skal avbildes til [tex]w=-1[/tex]:

[tex]-1 = \lim_{z\to \infty} \frac{az - ai}{cz + d}[/tex]

Dette gir altså:

[tex]-1 = \frac{a}{c}[/tex]

[tex]c = -a[/tex]

Da sitter jeg altså igjen med:

[tex]w = \frac{a(z - i)}{d - az}[/tex]

Er dette riktig svar? Grunnen til at jeg spør er at jeg som regel i alle oppgaver av denne typen blir opplyst om tre avbildingspunkter, slik at alle koefissientene, [tex]a, b, c, d[/tex], kan kanselleres. I dette tilfellet er det imidlertid bare disse to punktene som oppgis. Oppgaven har ikke fasit, så jeg setter veldig stor pris på om noen kan bekrefte/avkrefte at mitt endelige svar er korrekt.

[Gustav]

Det du har gjort ser riktig ut, men du er vel ikke helt i mål siden du ikke har vist at slike transformasjoner avbilder det åpne øvre halvplan til den åpne enhetsdisken ennå.

[krje1980]

Det du har gjort ser riktig ut, men du er vel ikke helt i mål siden du ikke har vist at slike transformasjoner avbilder det åpne øvre halvplan til den åpne enhetsdisken ennå.

Takk skal du ha.

Jeg har også litt vansker med å vise dette. Løser jeg uttrykket mitt med [tex]z= x + iy[/tex] blir det ganske knotete algebraisk, og jeg ender opp med:

[tex]u = \frac{adx + a^{2}y - a^{2}(x^{2} + y^{2})}{|d - az|^{2}}[/tex]

[tex]v = \frac{ady - ad + a^{2}x}{|d - az|^{2}}[/tex]

Ser ikke helt hvordan jeg skal bevise transformasjonen. Kunne du vært så snill å gitt meg litt mer hjelp . Eventuelt bekreftet at uttrykkene mine for u og v er korrekte?

[krje1980]

Hm.

Ser forresten nå at dersom jeg setter [tex]d=0[/tex] så blir dette betraktelig enklere. Da kan uttrykket for [tex]w[/tex] forkortes til:

[tex]w = \frac{i - z}{z}[/tex]

Og dette gir:

[tex]u = \frac{y}{x^{2} + y^{2}} - 1[/tex]

[tex]v = \frac{x}{x^{2} + y^{2}}[/tex]

Er jeg inne på noe her?

[krje1980]

Puslet litt mer med dette, og prøvde følgende:

Vi vet at at alle punkter i det øvre xy-planet skal transformeres til en enhetssirkel i uv-planet. Da må grensen for sirkelen gå ved [tex]z = 0[/tex]. For [tex]z=0[/tex] må dermed [tex]|w|=1[/tex]

Setter vi inn dette i mitt uttrykk får vi:

[tex]1 = \frac{a(-i)}{d}[/tex]

[tex]d = -ia[/tex]

Setter inn og får:

[tex]w= \frac{a(z-i)}{a(-i-z)}[/tex]

[tex]w = \frac{i-z}{i+z}[/tex]

Dette kan skrives på formen:

[tex]w = e^{i\pi}(\frac{z - i}{z - \overline{i}})[/tex]

Som er standardtransformasjonen for å transformere øvre halvdel av xy-planet til enhetssirkelen i uv-planet (i følge pensumboken min).

Ser dette riktig ut?

[krje1980]

Flott! Takk skal du ha. Godt å se at great minds think alike . Puh! Godt å vite at jeg kom i mål i dag også. Kun fire uker til eksamen i kompleks analyse nå. Skal bli godt å få det overstått .

[Gustav]

Tror det er rett ja. Ihvertfall det samme som jeg kom frem til:)