Vanskelig integral

[krje1980]

Hei. Jeg står litt fast på en oppgave. Jeg vet egentlig fremgangsmåten, men ender opp med å få et svært vanskelig integral! Setter pris på tips.

Oppgaven lyder:

Anta at [tex]u = e^{x^{2} - y^{2}}cos2xy[/tex]. Finn en funksjon [tex]v[/tex] slik at [tex]u(x,y) + iv(x,y)[/tex] er en hel funksjon.

OK. Her tar jeg utganspunkt i Cauchy-Riemann likningen hvor:

[tex]u_x = v_y[/tex] og [tex]u_y = -v_x[/tex]

Vi får:

[tex]u_x = 2xe^{x^{2}}e^{-y^{2}}cos(2xy) - 2ye^{x^{2}}e^{-y^{2}}sin(2xy)[/tex]

Jeg skal så integrere dette med hensyn på [tex]y[/tex] for slik å få oppfylt at [tex]u_x = v_y[/tex]. Men hvordan integrer jeg dette? Spesielt uttrykket [tex]- 2ye^{x^{2}}e^{-y^{2}}sin(2xy)[/tex] er jo svært vanskelig å integrere. Ser ikke hvordan jeg skal gjøre det.

Setter stor pris på hjelp! Eventuelt om noen kan en annen måte å løse oppgave på.

[Nebuchadnezzar]

Nei skulle du sett, jeg klarte å integrere denne ^^

Denne oppgaven blir litt i samme gate som [tex]\int {\left( {1 + 2{x^2}} \right){e^{{x^2}}}dx}[/tex]. Prøver man seg med standard metoder som delvis integrasjon ser man raskt at dette ikke går. Deler man derimot opp stykket slik:

[tex]\int {{e^{{x^2}}}dx} + \int {2{x^2}{e^{{x^2}}}}dx [/tex]

Og utfører delvis integrasjon på siste delen, vår vi noen fine kansellasjoner som gir oss svaret. Virkelig, prøv deg på oppgaven over =)

Samme på din oppgave, bare med litt verre tall.

[tex]\int {{e^{{x^2} - {y^2}}}\left( {2x\cos \left( {2xy} \right) - 2y\sin \left( {2xy} \right)} \right)} dy[/tex]

Deler du opp dette stykket, og bruker delvis på siste delen mener jeg du skal få noen fine kansellasjoner.

EDIT: Du kan også se på den deriverte av [tex]{e^{{x^2} - {y^2}}}\sin \left( {2xy} \right)[/tex]

[drgz]

Du skal kunne løse denne uten å måtte integrere noe. Hint: [tex]x^2-y^2=z^2-i2xy[/tex] og [tex]\exp(ix) = \cos(x)+i\sin(x)[/tex]

Du vet: [tex]u(x,y) = \Re\{f(z)\}[/tex] og [tex]v(x,y)=\Im\{f(z)\}[/tex]

Når [tex]u(x,y)=\exp(x^2-y^2)\cos(2xy)[/tex], hva kan du si om [tex]v(x,y)[/tex] basert på hintet?

Og når du har [tex]v(x,y)[/tex], så er det bare å sjekke at Cauchy-Riemann er oppfylt.

[krje1980]

Hei.

Beklager litt sent svar. Har vært på jobbreise med begrenset nett-tilgang.

Jeg ser at Nebu jo faktisk har svaret . Altså - dersom vi setter [tex]v=e^{x^{2} - y^{2}}sin(2xy)[/tex] så vil kriteriene oppfylles. Jeg tror også ikke at det er meningen vi skal løse dette gjennom integrasjon. Dette er en tidligere eksamensoppgave, og etter å ha kjørt uttrykket gjennom Wolframalpha virker det som at det er såpass mye arbeid med dette at det nok finnes en annen måte å løse oppgaven på.

Tok derfor utgangspunkt i hintet ditt, claudeShannon, men må innrømme at jeg dessverre ikke ble så veldig klok. Jeg kjenner til alle de identitene du nevner, men ser ikke helt hvordan jeg skal finne [tex]v[/tex] basert på dette. Vi får vel noe ala:

[tex]u = e^{z^{2} - i2xy}cos(2xy)[/tex]. Som videre gir:

[tex]u = e^{z^{2}}(cos(2xy) - isin(2xy))cos(2xy)[/tex]

Og så kommer jeg ikke lenger! Hadde vært veldig fint med litt mer hjelp

[drgz]

Det jeg tenkte er du vet at [tex]u(x,y) = \Re\{f(z)\} = \exp(x^2-y^2)\cos(2xy) = \Re\{\exp(x^2-y^2+i2xy\})=\Re\{\exp(z^2)\}[/tex]

Dermed er [tex]v(x,y) = \Im\{f(z)\}=\Im\{\exp(z^2}=\exp(x^2-y^2)\sin(2xy)[/tex]

som oppfyller CR.

[krje1980]

Ah, nå er jeg med! Tusen takk skal du ha!