matematikk.net

momentet langs en akse for et legeme som er i rommet er gitt ved (her moment over x-akse)

[tex]M_{yz}=\int\int\int x\delta(x,y,z) dV[/tex]

Er det mulig å forklare evetuelt bevise hvorfor dette gir moment i x-retning?

Videre er massesenter gitt ved:

[tex]\frac{M_{yz}}{M}[/tex] hvor

[tex]M=\int\int\int \delta(x,y,z) dV[/tex]

er det mulig å forklare det. Jeg henger ikke helt med her heller. Hvis man har moment i x-retning og deler det på total masse hva får man da? Jeg vet at det er punktet hvor man kan balansere en linjal på undenifra siden det er der tyngdepunktet er. Men av og til er det veldig ålreit å skjønne formlene litt. Det kan jo være jeg ikke skjønner det på grunn av basiske mangler i integralregning tenkte jeg da. Ja kanskje litt i overkant filosofisk dette eller difust, men jeg spør allikevel. Finnes det et bevis for massesenter kanskje:)

Tenk deg massesenteret som en form for gjennomsnitt. La oss si at et legeme består av et visst antall små masser i forskjellige avstand fra origo. Er du med på at hvor stor innvirkning disse har for massesenteret er avgjort av to ting: 1) hvor langt borte de er og 2) hvor tunge de er?

Tenk deg at vi har to masser på x-aksen: 4kg i avstanden 0.5m fra origo og 4kg i avstanden 2m fra origo. Er du med på at massesenteret bør bli i origo? 4kg-massen er fire ganger tyngre enn 1kg-massen, men den befinner seg også 4 ganger nærmere origo. For å regne ut massesenteret kan vi bruke den formelen du har oppgitt. Men her trenger vi ikke å integrere, siden vi har et endelig antall masser. Vi får da:

[tex]\frac{M_{yz}}{M} = \frac{1 \cdot (-2) + 4 \cdot 0.5}{5} = 0[/tex]

Massesenteret blir altså som en form for gjennomsnitt. Når man finner gjennomsnittet av en mengde verdier tar man å summerer opp alle verdiene, og så deler man på antallet. Her summerer vi opp produktet av hver masses størrelse/tyngde og hvor langt unna massen er, og deler så på total masse. Når man har en kontinuerlig massefordeling, altså et legeme som ikke består av n antall masser, tenker man seg at det er mange infinitisimalt små masser dm som er gitt ved [tex]\delta(x,y,z) dV[/tex], og så summerer man (integrerer) alle dise.

takk!

har begynt å få litt forståelse for moment nå:)

Men jeg tenkte hvis det er slik at du har en masse plassert i -1 på x-akse med masse 4 kg og en plassert på x=2 med masse 1 kg. da blir moment:

4(-1)+2(1)=-2

Hvorfor blir massesenter funnet ved å dele på total masse? Jeg ser man må dele på noe. Men jeg spør allikevel (bra med all forståelse man får tak i:))

Dette står bl.a. forklart ganske greit her.

EDIT: Eventuelt: det du får når du summerer opp produktet av masse og avstand er hvor stor nettoinnvirkning hver masse i legemet har om massesenteret, altså momentet. Det du får er altså [tex]M \cdot \bar x[/tex], der [tex]\bar x[/tex] er massesenteret. For å finne massesenteret må du da dele dette tallet på M.