Å finne den inverse matrisen.
Har jeg forstått det riktig, når jeg sier at det er to måter å finne den inverse matrisen på?
1) Å bruke Gauss-Jordan og begynne med en matrise der
[tex]A = I[/tex]
[tex]I = A^{-1}[/tex]
2) Å finne Adj(A) og dele dette på determinanten til A.
Hva er egentlig Adj(A) - dvs, hva er det egentlig man gjør? Hvilke egenskaper har Adj(A) i forhold til A?
Edit: Typo i emnetittel.
Matriser, invertering og intuisjon
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Last edited by MatteNoob on 09/05-2011 06:09, edited 2 times in total.
Øver du til eksamen i matematikk? Se eksamensoppgaver med løsningsforslag.
Vil du ha egen webside, se her for å lage hjemmeside.
Vil du ha egen webside, se her for å lage hjemmeside.
På 1) antar jeg du mener å radredusere matrisen [tex]\[A|I\][/tex] til [tex]\[I|A^{-1}\][/tex]. Dette virker fordi en inverterbar matrise alltid kan skrives på formen [tex]A=E_n E_{n-1} ... E_1I[/tex], der [tex]E_i[/tex] er elementærmatriser (oppnådd ved å utføre en enkelt inverterbar radoperasjon på [tex]I[/tex]).
Den adjunkte matrisen til [tex]A[/tex], [tex]\text{adj}(A)[/tex] er den transponerte kofaktormatrisen. Kofaktormatrisen er matrisen som har underdeterminantene til [tex]A[/tex] som elementer.
Jeg har aldri sett et bruksområde for adj(A) som ikke innebærer å finne den inverterte matrisen. De viktigste egenskapene finner du på wiki:
http://en.wikipedia.org/wiki/Adjugate_matrix#Properties
Den adjunkte matrisen til [tex]A[/tex], [tex]\text{adj}(A)[/tex] er den transponerte kofaktormatrisen. Kofaktormatrisen er matrisen som har underdeterminantene til [tex]A[/tex] som elementer.
Jeg har aldri sett et bruksområde for adj(A) som ikke innebærer å finne den inverterte matrisen. De viktigste egenskapene finner du på wiki:
http://en.wikipedia.org/wiki/Adjugate_matrix#Properties
1) Ja, det var dette jeg mente, men jeg visste ikke hvordan jeg kunne skrive det i latex. Ok, skjønner.
2) Ok, men er det da greit å først transportere A, så finne kofaktorene for den transporterte, deretter finne komplementene ut fra [tex](-1)^{r+n}[/tex] der r er linjenummer og n kolonnenummer?
---
Hvis man har A og den inverse av A, som begge er 3x3-matriser, og deretter summerer de tre vektorene i A, for så å gjøre det samme med den inverse, vil man da komme tilbake til utgangspunktet?
Vil med andre ord [tex]A+A^{-1} = 0[/tex] (nullmatrise)?
2) Ok, men er det da greit å først transportere A, så finne kofaktorene for den transporterte, deretter finne komplementene ut fra [tex](-1)^{r+n}[/tex] der r er linjenummer og n kolonnenummer?
---
Hvis man har A og den inverse av A, som begge er 3x3-matriser, og deretter summerer de tre vektorene i A, for så å gjøre det samme med den inverse, vil man da komme tilbake til utgangspunktet?
Vil med andre ord [tex]A+A^{-1} = 0[/tex] (nullmatrise)?
Øver du til eksamen i matematikk? Se eksamensoppgaver med løsningsforslag.
Vil du ha egen webside, se her for å lage hjemmeside.
Vil du ha egen webside, se her for å lage hjemmeside.
Ja, du kan vel transponere først. Man har jo at [tex]\left(A^{-1}\right)^T=\left(A^T\right)^{-1}[/tex].
Nei, uttrykket ditt stemmer ikke generellt. Definisjonen av inversen av [tex]A[/tex] (hvis den finnes) er en matrise [tex]B[/tex] slik at [tex]AB=BA=I[/tex], men dette medfører ikke at [tex]A+B=0[/tex]. (Man kan faktisk vise at dette kun kan være (men ikke nødvendigvis er) sant dersom [tex]A^2=AA=-I[/tex]. Prøv.)
Nei, uttrykket ditt stemmer ikke generellt. Definisjonen av inversen av [tex]A[/tex] (hvis den finnes) er en matrise [tex]B[/tex] slik at [tex]AB=BA=I[/tex], men dette medfører ikke at [tex]A+B=0[/tex]. (Man kan faktisk vise at dette kun kan være (men ikke nødvendigvis er) sant dersom [tex]A^2=AA=-I[/tex]. Prøv.)