polarintegrasjon

[gill]

jeg lurer på en integrasjon

jeg skjønner alt fram til det står en i parentes i oppgave eksamen våren1991:

http://bildr.no/view/879348

hvordan blir den delvise integrasjonen?

substitusjonen etterpå går kanskje opp slik:


grensene finner man vel fra:


[tex]\xi=cos0=1[/tex] til [tex]cos\frac{\pi}{2}=0[/tex]

og skal vi se. Når man skriver om med kjerne må man dele på den deriverte av kjernen [tex]\frac{d\xi}{d\theta}=-sin\theta[/tex]

som gjør at man fjerner [tex]sin\theta[/tex] og må gange med -1.

Hvis noen vil korrigere min oppførsel for integrering så gjør det:)

Jeg tror det finnes en alternativ måte og å løse det på ved fra starten av altså der de skriver p som kjerne skirver [tex]p^2=4-r^2[/tex]

deretter deriverer man begge sider og får [tex]2pdp=-2rdr[/tex]

og man setter det inn i integralet:



[tex]-\int\int p p dp d\theta [/tex] og finner grenser for p:

[tex]p=4-2^2=0[/tex] og [tex]p^2=4-4cos^2\theta=4(1-cos^2\theta)=4sin^2\theta[/tex] [tex] p=2sin\theta[/tex]

og integrerer med disse grensene men her deler man ikke på kjernen. Kan noen forklare forskjellen?

[Vektormannen]

De de lar [tex]\rho = 4-r^2[/tex] være kjernen. Ikke [tex]\rho^2[/tex].

[gill]

tenker du på eksamensoppgaven (der har jeg skjønt at det kan være en kjerne i bildet) eller mener du der jeg prøvde å forklare en alternativ måte?

[Vektormannen]

Ai, sorry, leste innlegget ditt feil.

Men hvor kommer u-en inn i bildet? Og hva gjør du med den r-en som er ganget med [tex]\sqrt{4 - r^2}[/tex]?

[gill]

Ja ser man det. Så bra var det ordnet ja. Har rettet opp det nå u=p

Altså jeg vet ikke helt om dette er en måte som er korrekt, jeg bare så den vist:

[tex]p^2=4-r^2[/tex]

[tex]2pdp=-2rdr[/tex]


deretter bare bytter de -2rdr med 2pdp i integralet der er vel slik r forsvinner

[tex]-\int\int p p dp d\theta [/tex]

[tex]p=4-2^2=0[/tex] og [tex]p^2=4-4cos^2\theta=4(1-cos^2\theta)=4sin^2\theta[/tex] [tex] p=2sin\theta[/tex]

og integrerer for dem først ganger man integralet med -1 for å bytte om på rekkefølgen av integrasjonsgrensene:

[tex]-\int\int \frac{1}{3}p^3 d\theta [/tex]

[tex]\int\int \frac{1}{3}2^3sin^3\theta d\theta [/tex]

som er det samme som de har i fasit med [tex](1-cos^2\theta)^{\frac{3}{2}}=sin^3\theta)[/tex] når man ser bort fra 8/3-deler som de satt utenfor i fasit. Men nå lurer jeg på hvordan de fikk det til å bli - foran etter de skrev om til:

[tex]sin^3\theta[/tex] ble jeg ikke klok på