komponet av vektorfelt langs en kurve r(t)

[gill]

Oki dette blir sånn jeg ser på dette herre her

komponent av vektor felt F langs en kurve r(t) er gitt ved:

[tex]\int F\cdot T ds=\int F\cdot dr=\int F\cdot \frac{dr}{dt}dt[/tex] (A)

siden

[tex]T=\frac{dr}{ds}[/tex]

som forøvrig og kan skrives

[tex]T=\frac{v}{|v|}[/tex]

siden

[tex]L=\int|v|} dt[/tex]

fra pytagoras av v i k og y-retning av r(t) og siden L er strekningen s til r(t) tilbakelagt er L=s og

[tex]|v|=\frac{ds}{dt}[/tex]

og da har vi at

[tex]\frac{v}{|v|}=\frac{\frac{dr}{dt}}{\frac{ds}{dt}}=\frac{dr}{ds}=T[/tex]

Jeg er med på utgreiningene over men jeg lure på en oppgave. De skriver at T er r'(t) altså ikke delt på r'(t) sin lengde. Som er noe annet enn det som den står definert som.

(tenkte jeg skulle ta med utgreiningene sånn at man kunne se hvordan jeg tenkte)

Jeg kunne kanskje lande på at de sier at

[tex]T=\frac{dr}{dt}[/tex] fra (A)

og særlig siden de integrerer

[tex]\int F\cdot T dt[/tex] etterpå

men dette er altså ikke den T som de har definert i læreboka tidligere

Hyggelig med litt benevnelsepuslespill hvis de har gjort det. Noen som ser noe annet mystefystisk som jeg selvfølgelig ikke så:)? Her er fasit. Oppgave øverste som heter b for sirkulasjon

http://bildr.no/view/880775

T er definert 3 kapitler foran i boka før de utgreier komponent av vektorfelt langs parammeterisert kurve og når de ikke igjendefinerer T i kapittelet her blir en stakkar litt forvirret

[Vektormannen]

Hvorfor mener du at de sier at [tex]\hat T = \frac{d\vec{r}}{dt}[/tex]? I (A) så står det bare at [tex]\hat T ds = d\vec{r}[/tex].

EDIT: når det gjelder de integralene i løsningsforslaget så vil [tex]\hat T dt = \frac{d\vec{r}}{ds} \cdot \frac{ds}{dt} dt = \frac{d\vec{r}}{ds} ds[/tex].

[gill]

jeg tenkte at det gikk opp med det de skrev i fasit i hvert fall. Og så lurte jeg på om det var slik at jeg hadde tolket fasit feil eller noe siden jeg mente T ikke var det. Men i forhold til fasit ser det ut som det stemmer at de sier det, og at de bare kanskje tok en spansk en og kalte T for

[tex]\frac{dr}{dt}[/tex] istedenfor [tex]\frac{dr}{ds}[/tex] siden det ga mening for meg da. Var egentlig det jeg lurte på. Om det var en spansk en for å si det sånn.


Men det jeg sliter med å forestille meg angående sånne oppgaver uansett er hvorfor man kan bruke parameteriseringen av r(t) inn i F for å finne





[tex]F\cdot \frac{dr}{dt} dt[/tex]

Ja jeg vet ikke helt hvordan jeg skal forklare hva jeg lurer på men hvis F er en vektor som funksjon av x,y og z. Og r(t) er parametrisert med t som variabel og vi sier at:

[tex]F=xi+yj[/tex]

og at r(t) er:

[tex]r(t)=(t^2-2)i+2tj[/tex]

da vil jo F bare være:

[tex]F=(t^2-2)i+2tj[/tex]

og r(t) kunne ha vært hva som helst og F hadde uansett vært parallell med r(t). Og da er den parallelt med alle retninger i rommet?

Her er et eksempel hvor de gjør det slik (eksempel 4):

http://bildr.no/view/880793

[gill]

til edit

[tex]|v|=\frac{ds}{dt}[/tex] trur eg. Kan man bare gange med det?

[Vektormannen]

Nei, beklager, der rotet jeg. Jeg er ikke helt sikker på hva de mener med akkurat det første integralet i hver linje i løsningsforslaget (altså at det står dt i stedet for ds.) Resten av utregningen er jo ok, det er bare akkurat det første i hver linje som virker litt rart. Kanskje noen andre har noen ideer om dette?

Angående det andre du lurte på, hva er det du vil frem til?

EDIT: Det ser ut som de bruker at verdien av et linjeintegral er uavhengig av parameteriseringen som er brukt. Det vil si at om man bruker buelengdeparameterisering eller en annen form for parameterisering, får man samme verdi for integralet. Her har de funnet tangentvektoren T uttrykt ved t og har vektorfeltet også uttrykt ved t.

[gill]

Ja det jeg lurer på i oppgaven jeg legger ved så setter de inn parameteriseringen for r(t) som angir forandring langs x,y og z-akse ved retningene henholdsvis i,j og k. Dette skulle jeg tro gir tall for hvordan x, y og z-koordintaer av r(t) forandrer seg.

Så har man et vektorfelt som er gitt ved kombinasjoner av x, y og z. Så disse x,y og z må vel være definert på en eller annen måte tenker de kan vel ikke få x,y og z koordinater fra blandinger av x,y og z. Skal vi se hvis F var definert av x,y og z da skulle jeg mene at dette blir litt vrient: de sier at når x=12 så er den i x=12 men siden den i eksemplet jeg la ved sier at x-komponent er x-y så blir dette litt baklengs tror jeg. Ok da antar jeg at x,y og z er definert av en annen parameter for F. Men hvilken parameter er det?

EDIT: Ok jeg antar det ikke er parameterisert av druer. Men det står jo ikke at den er parameterisert av t heller?

[Vektormannen]

Jo, de skriver T(t) øverst der.

EDIT: jeg er fortsatt ikke helt med på hva du mener. Hvis vi tar eksempelet ditt så blir det jo bare

[tex]\int_a^b F \cdot \frac{d\vec{r}}{dt} dt = \int_a^b (t^2 - 2, 2t) \cdot (2t, 2) dt = \int_a^b 2t^3 - 4t + 4t dt = \int_a^b 2t^3 dt[/tex]

[gill]

T er jo definert som:

[tex]\frac{\frac{dr}{dt}}{\frac{dr}{ds}}=\frac{v}{|v|}[/tex]

de skriver bare i fasit i siste utergning

[tex]\int \frac{dr}{dt} dt[/tex]

og derfor mener jeg de har definert enhetstangetnvektor T som v siden når de regnet ut det de kalte for T så var det egentlig r'(t) som og er det de har brukt i fasiten. Det er i hvert fall sånn jeg lander på det da.


Ja og det andre jeg lurte på. Da antar jeg at det bare er å parameterisere fram og tilbake fra r(t) til F:)