matematikk.net

Her kommer jeg til å legge ut heldagsprøven vi hadde i R2. Personlig synes jeg oppgavene var litt annerledes enn det vi var vant til og at vi hadde dårlig tid. Vi fikk 2 timer på del 1 og 3 timer på del 2, og 2 poeng per deloppgave.

Del 1

Oppgave 1

a) Bestem integralene









b) Et flatestykke er avgrenset av x-aksen, linja x = 1, linja x = 4 og grafen til funksjonen gitt ved



1) Finn arealet av flatestykket.

2) Finn volumet av den gjenstanden vi får når vi dreier flatestykket 360° om x-aksen.

Oppgave 2

a) Finn summen av de 200 første leddene i rekken



b) Bestem summen av rekken



c) Vis ved induksjon at



Oppgave 3

a) Vi har gitt differensiallikningen


1) Finn likningen til tangenten til integralkurven i punktet



2) Finn den løsningen av differensiallikningen som oppfyller at



b) Vi har gitt differensiallikningen



Tangenten i punktet P (0,-2) på en integralkurve er parallell med linja y = 2x + 3. Hva kan du si om krumningen i grafen i punktet P?

Del 2

Oppgave 4

Et plan er gitt ved



Planet skjærer x-aksen i A, y-aksen i B og z-aksen i C.

a) Finn koordinatene til punktene A, B og C.

b) Regn ut avstanden fra punktet D (-1,1,2) til .

c) Finn volumet av pyramiden ABCD

En linje har parameterframstillingen gitt ved



d) Finn avstanden fra D til .

e) Finn vinkelen mellom og

En kuleflate med sentrum i D tangerer punktet A.

f) Finn likningen for kuleflaten.

g) Kuleflaten skjærer planet . Finn radien til snittsirkelen mellom kuleflata og planet.

Oppgave 5

Løs likningene ved regning. x ∈ [0,2[symbol:pi]]

a)

b)

c)

Oppgave 6

Funksjonen f er gitt ved



a) Finn nullpunktene til f ved regning.

b) Vis ved regning at



og bruk dette til å finne eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f.

c) Tegn grafen til f.

Vi tar for oss funksjonen f i intervallet x ∈ [0,[symbol:pi]].
Punktene A(0,0), B(x,0) og C(x, f(x)) danner hjørnene i en trekant.

d) Vi lar x være en variabel i intervallet x ∈ [0,[symbol:pi]].
Finn arealet av trekanten uttrykt ved x, og bruk dette til å finne hvilken verdi av x som gir størst areal. Hvor stort er dette arealet?

Oppgave 7

En uendelig geometrisk rekke er gitt ved
, .

a) Forklar at rekka er konvergent når x=-2. Finn summen av rekka i dette tilfellet.

b) Bestem konvergensområdet til rekka. Finn eventuelle verdier av x som gjør at summen av rekka blir -1,5.

Oppgave 8

En pasient får tilført 400 mg per time intravenøst (direkte i blodet) av en bestemt type medisin. Kroppen absorberer (tar opp) til enhver tid 40 % av medisinen i blodet per time. La y mg være medisinen i blodet t timer etter at pasienten begynte å få medisinen intravenøst. Vi går ut fra at medisinen fordeles jevnt i blodet til pasienten.

a) Sett opp differensiallikningen som beskriver medisinmengden i blodet, og løs differensiallikningen ved regning.

b) Hva vil medisinmengden i blodet nærme seg hvis behandlingen fortsetter over lang tid?

Om dette er hele del 1 så er det jo barnemat ^^ La ut min R2 prøve og =)

Nebuchadnezzar wrote:Om dette er hele del 1 så er det jo barnemat ^^ La ut min R2 prøve og =)

enig med Nebu der, del 1 her er lettere enn denne;

http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... 02&start=0

hva angår del 2, så skal det jaggu mye til hvis deres er kjipere...

Er det egentlig noen hensikt med at de kommer i 2 deler?

Del 1 er helt uten hjelpemidler =) Derfor del 1 tar litt tid.

Var vel stort sett geometrioppgaven som tok tid hos de fleste. Snittet på prøven ble 30 poeng av 60 mulige. De var veldig snille med tanke på differensiallikningene på denne prøven, i forhold til deres prøve Nebbi:)

Det var veldig få som fikk til oppgave 3b og 4g, hvis noen har lyst til å prøve seg...

4 b) Vi har gitt differensiallikningen



Tangenten i punktet P (0,-2) på en integralkurve er parallell med linja y = 2x + 3. Hva kan du si om krumningen i grafen i punktet P?

[tex] \frac{{{d^2}}}{{{d^2}x}}y = \frac{{12}}{5}y - \frac{d}{{dx}}y [/tex]

[tex] \frac{{{d^2}}}{{{d^2}x}}y = \frac{{12}}{5} \cdot \left( { - 2} \right) - 2 [/tex]

[tex] \frac{{{d^2}}}{{{d^2}x}}y = - \frac{{34}}{5} [/tex]

Krummningen i punktet er vel negativ, altså er grafen konkav i punktet p.

Angående den neste oppgaven kan du bruke



Så pytten for å finne q

Det er selvfølgelig helt korrekt. Det mange gjorde feil var at de instinktivt brukte tid på å løse difflikningen i 3b.

Hvordan tegnet du forresten den figuren?:)

Ikke noe problem å løse den da. Bare litt arbeid

[tex]y^{\tiny\prime\prime}+y^{\tiny\prime}-12y=0[/tex] der [tex]y(0)=-2[/tex] og [tex]y^{\tiny\prime}(0)=2[/tex]

Løser vi likningen vår vi at røttene er [tex]r \, = \, - \frac{{5 \pm \sqrt {265} }}{{10}}[/tex]

Så løsningen på difflikningen blir [tex]y\left( x \right) = C{e^{ - \frac{1}{{10}}\left( {5 \pm \sqrt {265} } \right)x}} + D{e^{ - \frac{1}{{10}}\left( {5 \pm \sqrt {265} } \right)x}}[/tex]

Setter vi at [tex]y(0)=-2[/tex] får vi at [tex]C+D = -2[/tex]

og [tex]y^{\tiny\prime}(0)=-2[/tex] gir oss likningen [tex]C\left[ { - \frac{1}{{10}}\left( {5 + \sqrt {265} } \right)} \right] + D\left[ { - \frac{1}{{10}}\left( {5 + \sqrt {265} } \right)} \right] = - 2[/tex]

Løsningen av likningsystemet er at [tex]C = - 1 + \frac{{\sqrt {265} }}{{53}} \; \text{og} \; {\rm{D}} = - \frac{{\sqrt {265} }}{{53}} - 1[/tex]

Slik at [tex]y\left( x \right) = \left( { - 1 + \frac{{\sqrt {265} }}{{53}}} \right){e^{\frac{1}{{10}}\left( { - 5 + \sqrt {265} } \right)x}} + \left( { - \frac{{\sqrt {265} }}{{53}} - 1} \right){e^{ - \frac{1}{{10}}\left( {5 + \sqrt {265} } \right)x}}[/tex]

Dermed får vi at den dobbelderiverte av y er.

[tex]y^{\tiny\prime\prime}\left( x \right) = \left( { - 1 + \frac{{\sqrt {265} }}{{53}}} \right){\left( { - \frac{{5 + \sqrt {265} }}{{10}}} \right)^2}{e^{\left( { - \frac{{5 + \sqrt {265} }}{{10}}} \right)x}} + \left( { - 1 - \frac{{\sqrt {265} }}{{53}}} \right){\left( { - \frac{{5 - \sqrt {265} }}{{10}}} \right)^2}{e^{ - \left( {\frac{{5 + \sqrt {265} }}{{10}}} \right)x}}[/tex]

Og endelig

[tex]y^{\tiny\prime\prime}\left( 0 \right) = \left( { - 1 + \frac{{\sqrt {265} }}{{53}}} \right){\left( { - \frac{{5 + \sqrt {265} }}{{10}}} \right)^2} + \left( { - 1 - \frac{{\sqrt {265} }}{{53}}} \right){\left( { - \frac{{5 - \sqrt {265} }}{{10}}} \right)^2}[/tex]

[tex]y^{\tiny\prime\prime}\left( 0 \right) \, = \, -\frac{34}{5}[/tex]

Krummningen er negativ , altså konkav i punktet P

Q.E.D

----------------------------------

Tegningen fant jeg på verdensveven, men hadde ikke vært noe stort problem å mekke noe i paint eller geogebra.


Sikkert litt slurv, men har ikke sett over regningen min.