Konvergens i Fourier rekke
Posted: 14/05-2011 14:15
Hei. Jeg har bare et kort spørsmål angående konvergens i en Fourier rekke.
Jeg har gitt oppgaven:
La [tex]f(x)[/tex] være gitt av:
[tex]f(x) = -x[/tex]
[tex] - 1 < x < 1[/tex]
a) Finn Fourier rekken til den periodiske utviklingen av [tex]f(x)[/tex] med periode [tex]2[/tex].
b) Hva konvergerer Fourier rekken mot i punktene [tex]x = 0, x = 1[/tex] og [tex]x = \pi[/tex]?
OK. Oppgave a) får jeg til uten problemer. Dette er en oddefunksjon og kan enkelt regnes ut til å bli:
[tex]f(x) = \frac{2}{\pi} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n}sin(n\pi x)[/tex]
Som også stemmer med fasit.
I oppgave b) vet vi at så lenge funksjonen er kontinuerlig vil den konvergere mot verdien funksjonen har på hvert punkt. I punkter hvor funksjonen er diskontinuerlig konvergerer funksjonen mot middelverdien av grenseverdien fra venstre og høyre. Det er derfor lett å se se at for [tex]x=0[/tex] konvergerer funksjonen mot [tex]0[/tex] og for[tex]x=1[/tex] konvergerer funksjonen mot [tex]\frac{(-1) + 1}{2} = 0[/tex]
For [tex]x=\pi[/tex] vet vi også at funksjonen er kontinuerlig og må dermed konvergerer mot [tex]f(\pi)[/tex]. I fasiten har man her skrevet:
For [tex]x = \pi[/tex] konvergerer rekken mot det samme som i [tex]x= \pi - 4[/tex], det vil si [tex]4 - \pi[/tex].
Dette resonnementet forstår jeg ikke helt. Jeg ser jo at funksjonen vil ha samme verdi i punktet [tex]x = \pi - 4[/tex] som i [tex]x = \pi[/tex],og at ettersom [tex]f(x) = -x[/tex] vil vi for innsetting av [tex]\pi- 4[/tex] vil få det gitte svaret. Men funksjonen vil jo også ha samme verdi i punktene [tex]x = \pi - 2, x = \pi - 6[/tex], osv. Hva er det som ligger til grunn for at vi bruker akkurat [tex]x =\pi - 4[/tex]?
Setter veldig stor pris på om noen kan forklare dette for meg.
Jeg har gitt oppgaven:
La [tex]f(x)[/tex] være gitt av:
[tex]f(x) = -x[/tex]
[tex] - 1 < x < 1[/tex]
a) Finn Fourier rekken til den periodiske utviklingen av [tex]f(x)[/tex] med periode [tex]2[/tex].
b) Hva konvergerer Fourier rekken mot i punktene [tex]x = 0, x = 1[/tex] og [tex]x = \pi[/tex]?
OK. Oppgave a) får jeg til uten problemer. Dette er en oddefunksjon og kan enkelt regnes ut til å bli:
[tex]f(x) = \frac{2}{\pi} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n}sin(n\pi x)[/tex]
Som også stemmer med fasit.
I oppgave b) vet vi at så lenge funksjonen er kontinuerlig vil den konvergere mot verdien funksjonen har på hvert punkt. I punkter hvor funksjonen er diskontinuerlig konvergerer funksjonen mot middelverdien av grenseverdien fra venstre og høyre. Det er derfor lett å se se at for [tex]x=0[/tex] konvergerer funksjonen mot [tex]0[/tex] og for[tex]x=1[/tex] konvergerer funksjonen mot [tex]\frac{(-1) + 1}{2} = 0[/tex]
For [tex]x=\pi[/tex] vet vi også at funksjonen er kontinuerlig og må dermed konvergerer mot [tex]f(\pi)[/tex]. I fasiten har man her skrevet:
For [tex]x = \pi[/tex] konvergerer rekken mot det samme som i [tex]x= \pi - 4[/tex], det vil si [tex]4 - \pi[/tex].
Dette resonnementet forstår jeg ikke helt. Jeg ser jo at funksjonen vil ha samme verdi i punktet [tex]x = \pi - 4[/tex] som i [tex]x = \pi[/tex],og at ettersom [tex]f(x) = -x[/tex] vil vi for innsetting av [tex]\pi- 4[/tex] vil få det gitte svaret. Men funksjonen vil jo også ha samme verdi i punktene [tex]x = \pi - 2, x = \pi - 6[/tex], osv. Hva er det som ligger til grunn for at vi bruker akkurat [tex]x =\pi - 4[/tex]?
Setter veldig stor pris på om noen kan forklare dette for meg.
. Vi har oppgitt at x ligger mellom -1 og 1, og dermed må vi velge den verdien for x som ligger innenfor dette intervallet og som gir samme verdi for f(x) som ved [symbol:pi] . Stemmer dette?