matematikk.net

Hei.

Sliter litt med denne oppgaven:

Hvor mange av røttene til ligningen [tex]z - e^{z} + 5 = 0[/tex] ligger i området [tex]Re(z) < 0[/tex]

Her kan vi ikke løse ligningen for [tex]z[/tex] for å finne alle røttene (jeg klarer det i hvert fall ikke). Er det noen annen måte å løse dette på? Setter stor pris på tips!

Oppgaven ber deg ikke om å finne røttene, så det trenger du ikke gjøre. (Løsningen kan nemlig ikke utrykkes ved elementære funksjoner).

Det første vi må legge merke til er at vi krever [tex]\Im(z)=\Im(e^z)[/tex]. Hvis vi skriver [tex]z=a+ib[/tex] blir dette til [tex]b=e^{a}\sin\, b[/tex].

Løs denne ligningen for [tex]b[/tex] (hva vet du om [tex]e^a[/tex]?), og se om kan bruke resultatet til å forenkle problemet.

Tips videre: Prøv å bruke at [tex]e^x[/tex] er en strengt voksende funksjon.

Hei. Takk for svar!

Jeg må innrømme at jeg ikke er helt med på første del av det du sier . Men jeg prøvde å tenke som følger basert på det andre tipset du gir (dette lærte jeg tross alt på grunnkurs i kalkulus ):

Vi definerer funksjonen [tex]f(z) = z - e^{z} + 5[/tex]

Den deriverte av funksjonen er:

[tex]f{\prime}(z) = 1 - e^{z}[/tex]

Av dette ser vi at funksjonen er strengt voksende (slik som du påpeker).

Videre ser vi at når [tex]z=0[/tex] får vi:

[tex]f(z) = 0 - e^{0} + 5 = -1 + 5 = 4 > 0[/tex]

Vi har også for [tex]z= - 5[/tex]:

[tex]f(-5) = -5 - e^{-5} + 5 < 0[/tex]

Altså må det ligge en rot i intervallet [tex][-5, 0][/tex]. Og i og med at funksjonen er strengt voksende for alle [tex]z[/tex] kan vi konkludere med at funksjonen har 1 rot for [tex]Re(z) < 0[/tex]

Er dette en akseptabel måte å løse problemet på?

I den første delen av innlegget min påpekte jeg at hvis to komplekse tall er like hverandre, må på realdelene og imaginærdelene individuellt være like. Vi skriver [tex]z=a+ib[/tex]. Dette kan vi gjøre uten tap av generalitet ettersom en generell funksjon av en kompleks variabel kan skrives som en funksjon i to reelle variable. Da får vi to ligninger som må være oppfylt samtidig:

Realdelen av ligningen:
[tex]\Re(z-e^z+5)= \Re(0)[/tex]
[tex]a-e^{a}\cos\, b + 5 =0[/tex]

Imaginærdelen av ligningen:
[tex]\Im(z-e^z+5)= \Im(0)[/tex]
[tex]b-e^{a}\sin\, b = 0[/tex]

Det virker som det du har gjort i ditt innlegg er å løse realdelen av ligningen uten å ta hensyn til den imaginære delen. Derfor er metoden din "nesten akseptabel", men løs imaginærdelen, så tror jeg du får en hyggelig overaskelse.

La [tex]f=z+5[/tex] og [tex]g=-e^z[/tex]

Bruk Rouches theorem på en rektangulær kontur gitt ved at [tex]Im(z)=\pm 1 [/tex] og [tex]Re(z)=0[/tex] og [tex]-6[/tex]

http://mathworld.wolfram.com/RouchesTheorem.html

Espen,

Det er mulig jeg er trøtt etter en lang dag med mye lesning, men jeg ser ikke helt hvordan jeg skal løse denne ligningen for [tex]b[/tex] of hvordan det vil gi meg svaret. Mener du at jeg f.eks. skal sette opp:

[tex]b - e^{a}sin(b) = 0[/tex]

[tex]sin(b) = \frac{b}{e^{a}}[/tex]

Hvordan skal jeg så gå vi dere herfra?


Plutarco,

Rouches teorem kjenner jeg til, men i og med at jeg kun har lært å bruke den innenfor sirkelkonturer tenkte jeg ikke på å definere en kontur slik du sier. Jeg forstår at jeg kan sette opp:

[tex]f(z) = z + 5[/tex]

[tex]g(z) = e^{z}[/tex]

[tex]|f(z)| \leq |z| + 5[/tex]

[tex]|g(z)| = |e^{z}| = e^{x}[/tex]

Men hvordan kan vi så fortsette herfra så lenge vi ikke har en sirkelkontur, og dermed en fast tallverdi for [tex]|z|[/tex]? Jeg vet jo at dersom jeg har kan påvise at [tex]|f(z)| > |g(z)|[/tex] så vil antall røtter tilsvare graden av [tex]z[/tex] som jo er 1.

krje1980 wrote:Espen,

Det er mulig jeg er trøtt etter en lang dag med mye lesning, men jeg ser ikke helt hvordan jeg skal løse denne ligningen for [tex]b[/tex] of hvordan det vil gi meg svaret. Mener du at jeg f.eks. skal sette opp:

[tex]b - e^{a}sin(b) = 0[/tex]

[tex]sin(b) = \frac{b}{e^{a}}[/tex]

Hvordan skal jeg så gå vi dere herfra?

Du vet at [tex]a<0[/tex], dermed er [tex]0<e^a<1[/tex] dermed vet du at [tex]b > e^{a}sin(b)[/tex] for alle [tex]b>0[/tex] og [tex]b < e^{a}sin(b)[/tex] for alle [tex]b<0[/tex]. Dette kan du vise ved å betrakte stigningstallet til [tex]b[/tex] og [tex]e^{a}sin(b)[/tex]. Når du løst denne ligningen for [tex]b[/tex] vil du ha en begrensning z-verdiene. Hvilke mulige verdier av [tex]z[/tex] står du igjen med?

For at [tex]z+5=e^z[/tex] må [tex]|z+5|=|e^z|[/tex]. Lar [tex]z=a+ib[/tex]. Da sier siste ligning at [tex]\sqrt{(a+5)^2+b^2}=e^a[/tex]. Siden høyresida alltid er mindre enn [tex]1[/tex] for [tex]a<0[/tex], må [tex]0>a>-6[/tex] og [tex]-1<b<1[/tex]. Dette er et rektangulært område i [tex]\mathbb{C}[/tex], så vi lar konturen [tex]K[/tex] være rektangelet som utgjør grensen. På [tex]K[/tex] vil da enten [tex]z=a\pm i[/tex], [tex]z=-6+ib[/tex] eller [tex]z=ib[/tex].

For det første tilfellet vil [tex]|f|=|z+5|=|(a+5)\pm i|=\sqrt{(a+5)^2+1}\geq 1> e^a=|g|[/tex].

Likeledes vil i de to andre tilfellene [tex]|f|=\sqrt{1+b^2}\geq 1> e^a =|g|[/tex] og [tex]|f|=\sqrt{5^2+b^2}>1> |g|[/tex]

EDIT: rettet opp endel småfeil

Tenkte litt mer på bruken av Rouches teorem på den konturen du foreslår, plutarco. Resonnerte som følger:

Dersom vi har at [tex]|g(z)| = e^{x}[/tex] og vi vet at [tex]Re(z)[/tex] er definert i intervallet [tex][-6,0][/tex] så vil maksimalverdien for [tex]|g(z)|[/tex] forekomme når [tex]Re(z) = x = 0[/tex] Da får vi at [tex]|g(z)| = 1[/tex].

For [tex]f(z)[/tex] har vi som nevnt at:

[tex]|f(z)| \leq |z| + 5[/tex]. I og med at [tex]|z|[/tex] alltid er et positivt tall (eller 0), vil verdien for [tex]f(z)[/tex] være større eller lik [tex]5[/tex]. Altså kan vi konkludere med at funksjonen har 1 rot.

Er dette riktig tankegang?

Plutarco,

Dette forstår jeg utmerket. Takk skal du ha .

Takk så mye for hjelpen du også, Espen. Men din fremgangsmåte er jeg ikke helt vant til og tror nesten jeg på ta en pause/sove før jeg kommer tilbake med friskt sinn . Jeg er sikker på om at dersom jeg ikke hadde vært så trøtt og utslitt så ville det du sier vært fullstendig åpenlyst. Men nå går det litt i surr hos meg!

Jeg setter i hvert fall veldig stor pris på hjelpen fra dere begge to!

Jeg klarer ikke helt å gi slipp på denne oppgaven. Argh. Liker å finne måte å løse oppgaver på som er i tråd med det jeg har lært i pensum.

Kan denne oppgaven dermed også løses som følger?:

Vi setter:

[tex]f(z) = z + 5[/tex]

[tex]g(z) = e^{z}[/tex]

Definerer så konturen [tex]|z + 5| \leq 5[/tex]

Da har vi en sirkelkontur med sentrum i [tex](-5,0)[/tex] og radius [tex]5[/tex]

Bruker så Rouches teorem:

[tex]|f(z)| = |z + 5| \leq 5[/tex]

[tex]|g(z)| = e^{x} \leq 1[/tex]

Og det følger dermed at funksjonen har 1 rot innenfor konturen. Videre vet vi (som vist tidligere i tråden) at funksjonen er strengt voksende, så det kan ikke være andre mulige røtter.

Vil dette også være en akseptabel måte å løse oppgaven på? Da bruker jeg nemlig utelukkende teori som står på pensum.

krje1980 wrote:Jeg klarer ikke helt å gi slipp på denne oppgaven. Argh. Liker å finne måte å løse oppgaver på som er i tråd med det jeg har lært i pensum.

Kan denne oppgaven dermed også løses som følger?:

Vi setter:

[tex]f(z) = z + 5[/tex]

[tex]g(z) = e^{z}[/tex]

Definerer så konturen [tex]|z + 5| \leq 5[/tex]

Da har vi en sirkelkontur med sentrum i [tex](-5,0)[/tex] og radius [tex]5[/tex]

Bruker så Rouches teorem:

[tex]|f(z)| = |z + 5| \leq 5[/tex]

[tex]|g(z)| = e^{x} \leq 1[/tex]

Og det følger dermed at funksjonen har 1 rot innenfor konturen. Videre vet vi (som vist tidligere i tråden) at funksjonen er strengt voksende, så det kan ikke være andre mulige røtter.

Vil dette også være en akseptabel måte å løse oppgaven på? Da bruker jeg nemlig utelukkende teori som står på pensum.

Ser riktig ut dette (ihvertfall dersom du definerer konturen til å være gitt ved |z+5|=5, noe jeg antar du egentlig mente), men jeg ville ikke snakket om strengt voksende komplekse funksjoner da det ikke fins en naturlig ordning av de komplekse tallene. For øvrig er det ingenting ved Rouche´s teorem som sier at man må arbeide med sirkulære konturer. Har ikke satt meg inn i espens forslag, men tror kanskje at Rouche er veien å gå her, siden det gir en meget kortfattet og oversiktlig løsning når man først har funnet en passende kontur.

Takk igjen for svar.

Ja, jeg tenkte faktisk over dette i går kveld før jeg sovnet, at det selvsagt ikke er logisk å vurdere en kompleks funksjon som strengt voksende ettersom vi her jo arbeider i et plan og ikke med en linje. Men det jeg lurer på er - hvordan kan vi, etter å ha valgt enten din eller min kontur, være sikker på at det ikke kan ligge flere røtter utenfor denne konturen, og som samtidig oppfyller at Re(z) < 0?

La [tex]w[/tex] oppfylle [tex]w+5=e^w[/tex]. Anta at [tex]\Re (w)<0[/tex] og at [tex]|w+5|>5[/tex]. Da er [tex]|w+5|>5>1>|e^w|[/tex] som er en motsigelse siden vi må ha at [tex]|w+5|=|e^w|[/tex]. Derfor fins det ingen røtter som ligger utenfor konturen og som samtidig har negativ realdel.

Tusen takk! Du er virkelig til god hjelp! Og, ja, jeg mente selvsagt |z + 5| = 5 i konturen jeg foreslo .

Setter også stor pris på Espen sitt forslag, men sliter fremdeles litt med å løse denne ligningen for [tex]b[/tex]. Det er som sagt Rouches teorem vi har lært å bruke som metode på denne typen oppgaver i kurset, så det er nok "meningen" vi skal løse oppgaven gjennom dette teoremet, selv om det selvsagt er helt korrekt å bruke Espens metode også.