problemer med fasit for eksamensoppgave

[gill]

Ja jeg har sendt det spørsmålet her litt rundt, uten hell. Det er skrevet på engelsk det jeg lurer på og alt er notert i vedlegget her.

Det handler om sirkelintegral og curl F:

Oppgaven

http://bildr.no/view/883606

Og fasit hvor jeg har skrevet alle mine spørsmål (ekke få):

http://bildr.no/view/883607

Spørsmålene er på engelsk i fasiten siden jeg har prøvd å spørre noen andre på nettet , men tenkte det var like så hyggelig som norsk jeg da

[Vektormannen]

Hvis curl F = 0 så er feltet F konservativt. Da er linjeintegralet av F mellom to punkter uavhengig av veien man integrerer over. Dette utnytter de ved å parameterisere kurven mellom start- og sluttpunktet på enklest mulig måte. Den enkleste veien er den rette linja som starter i (0,0,0) og slutter i (1,0,0), som er gitt ved x = t og y = z = 0. På denne kurven vil feltet F være gitt ved [tex]F(x,y,z) = (x \cos(y^2), z - x^2 y \sin(y^2), y) = (t \cdot \cos 0, 0 - t^2 \cdot 0 \cdot \sin 0, 0) = (t,0,0)[/tex]. Videre har vi at [tex]\vec{T} ds = d\vec{r} = \frac{d\vec{r}}{dt} dt = (1,0,0) dt[/tex].

Da blir altså integralet [tex]\int_C \vec{F} \cdot \vec{T} ds = \int (t,0,0) \cdot (1,0,0) dt[/tex].

Det jeg har skrevet her er stort sett det samme som står i fasiten, bare med andre ord. Hva av dette er det du ikke er med på?

[gill]

Nå skjønte jeg hvorfor F=(t,0,0) Må jo gå samme vei som vektoren r:)

Men det som jeg ikke helt skjønner er hvorfor curl F=0 gir konservativt felt. Jeg vet bare at felt er konservative når

[tex]\nabla f=F[/tex]

[Vektormannen]

Grunnen til at det blir F = (t,0,0) er ikke at F må gå samme vei som vektorn [tex]\vec{r}[/tex], men det er mulig jeg misforstår. Det kunne blitt noe helt annet enn (t,0,0), men det ble slik pga. hvordan F var definert. Hadde F f.eks. vært F = (x,x,x) ville F vært lik F = (t,t,t) på kurven.

Når det gjelder at [tex]\text{curl} F = 0[/tex] for et konservativt felt, så kommer dette av at [tex]\nabla \times \nabla f = 0[/tex], som er en av identitetene for [tex]\nabla[/tex]-operatoren. Dette står det helt sikkert noe om i boken din?

[gill]

ja der har du helt rett. Det gjør det:) Men ofte går man ofte over bekken for å hente vann for å si det sånn. Da vet jeg hvorfor man ser at det er konservativt.

Men F har en verdi i forskjellige punkter gitt ved parameterisering for x=t i dette tilfellet siden x for r er t og y=z=0?

[Vektormannen]

Det stemmer. Du får (t,0,0) når du setter inn x = t og y = 0 og z = 0 for x, y og z i uttrykket for F i oppgaven.

[gill]

ja det blir vel heller F må jo ikke gå samme vei som r man vil bare se hvor mye av den som går i retning av r ved all verdier for x gitt ved t i denne oppgaven

[Vektormannen]

Det stemmer. Man er bare interessert i verdiene av F på kurven (og av disse igjen så er vi bare interessert i komponenten som er parallell med kurven i hvert punkt), så derfor kan vi også uttrykke F ved parameteriseringen.