matematikk.net

Vi kan skrive løsningen for en homogen lineær ODE slik:
y'+p(x)y=0

så prøver vi å integrere

[tex]\frac{dy}{y}=-p(x)dx[/tex]

og

[tex]ln|y|=-\int p(x)dx+c*[/tex]

og [tex]y(x)=ce^{-\int p(x)dx}[/tex]

hvor [tex]c=\mp e^{c^*}[/tex]

avhengig av om y er større eller mindre enn 0.
Så sånn som jeg ser det y for en x gir at løsningen har en gitt konstant gganget med - i som er opphøyd i e

Men senere i boken står det

y'+ky=0

gir løsning

[tex]y=ce^{-kx}[/tex] (1)

som går opp med det over siden her er p(x)=k

men i det avsnittet ser de på

y''+ay'+by=0 (2)

og fra (1) sier de at de prøver løsningen



[tex]y=e^{\lambda x}[/tex]

de finner uttrykk for y' pg y'':

[tex]\frac{dy}{dx}=\lambda e^{\lambda x}[/tex]

og

[tex]\frac{dy}{dx}=\lambda^2 e^{\lambda x}[/tex]

når de setter det inn i (2) får de:



[tex](\lambda^2+a\lambda+b)e^{\lambda x}=0[/tex]


[tex]e^{\lambda x}[/tex] kan aldri bli helt 0 (den går jo bare mot 0, blir ikke det riktig?) derfor skriver vi:

[tex](\lambda^2+a\lambda+b)=0[/tex]

som er en andregradsligning som går opp. Er det sånn vi beviser at



[tex]y=e^{\lambda x}[/tex]

siden vi se rat den går opp for ligningen?

Ja, egentlig. Du leter etter en funksjon som ikke endrer seg stort når du deriverer den. Det viser seg at [tex]y=e^{\lambda x}[/tex] er en slik funksjon.