Generelt spørsmål om Taylorrekker
Posted: 17/05-2011 13:03
Dette med rekker har jeg alltid funnet vanskelig. Har nå et mer generelt spørsmål.
Gitt:
[tex]f(z) = \frac{1}{z-a}[/tex]
Utvikle rekken i en omegn om punktet [tex]z_0[/tex] hvor [tex]z_0 \not= a[/tex]
Her gjør jeg som følger:
[tex]\frac{1}{z-a} = \frac{1}{(z - z_0) + (z_0 -a)} = \frac{1}{(z_o - a) + (z - z_0)} = \frac{-1}{(a - z_0) - (z - z_0)} = \frac{-1}{a - z_o} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(z - z_0)^{n}}{(a - z_0)^{n}} = -\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(z - z_0)^{n}}{(a - z_0)^{n+1}}[/tex]
I fasiten gjør man slik:
[tex]\frac{1}{z-a} = \frac{1}{(z - z_0) + (z_0 -a)} = \frac{1}{z_0 - a}\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \frac{(z - z_0)^{n}}{(z_0 - a)^{n}} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\frac{(z - z_0)^{n}}{(z_0 - a)^{n+1}}[/tex]
Er begge løsninger like riktig? Jeg er nemlig litt forvirret på akkurat dette punktet - av og til virker det som at det er meningen man skal multiplisere teller og nevner med [tex](-1)[/tex] slik jeg har gjort, mens andre ganger skal man ikke gjøre det, og heller inkludere [tex](-1)^{n}[/tex] i selve sum-uttrykket. Hvordan kan jeg se hva som er rett fremgangsmåte? Jeg kjenner til begge, men ser ikke noe system i hvorfor man noen ganger velger den ene og noen ganger den andre.
Setter veldig stor pris på om noen kan forklare dette for meg!
Gitt:
[tex]f(z) = \frac{1}{z-a}[/tex]
Utvikle rekken i en omegn om punktet [tex]z_0[/tex] hvor [tex]z_0 \not= a[/tex]
Her gjør jeg som følger:
[tex]\frac{1}{z-a} = \frac{1}{(z - z_0) + (z_0 -a)} = \frac{1}{(z_o - a) + (z - z_0)} = \frac{-1}{(a - z_0) - (z - z_0)} = \frac{-1}{a - z_o} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(z - z_0)^{n}}{(a - z_0)^{n}} = -\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(z - z_0)^{n}}{(a - z_0)^{n+1}}[/tex]
I fasiten gjør man slik:
[tex]\frac{1}{z-a} = \frac{1}{(z - z_0) + (z_0 -a)} = \frac{1}{z_0 - a}\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \frac{(z - z_0)^{n}}{(z_0 - a)^{n}} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\frac{(z - z_0)^{n}}{(z_0 - a)^{n+1}}[/tex]
Er begge løsninger like riktig? Jeg er nemlig litt forvirret på akkurat dette punktet - av og til virker det som at det er meningen man skal multiplisere teller og nevner med [tex](-1)[/tex] slik jeg har gjort, mens andre ganger skal man ikke gjøre det, og heller inkludere [tex](-1)^{n}[/tex] i selve sum-uttrykket. Hvordan kan jeg se hva som er rett fremgangsmåte? Jeg kjenner til begge, men ser ikke noe system i hvorfor man noen ganger velger den ene og noen ganger den andre.
Setter veldig stor pris på om noen kan forklare dette for meg!
. Setter stor pris på hjelpen!