matematikk.net

Har sikkert gjort noe ulovlig i denne utregningen, men vet ikke helt hva! (har noen mistanker) Kunne noen forklart for meg?

Tar utgangspunkt i Eulers formel:

[tex]e^{ix} = \cos x + i \sin x[/tex]

Setter inn [tex]x = 2 \pi[/tex]
[tex]e^{i \cdot 2 \pi} = \cos (2 \pi) + i \sin (2 \pi)[/tex]
[tex]e^{i \cdot 2 \pi} = 1 + 0[/tex]
[tex]\ln(e^{i \cdot 2 \pi}) = \ln 1[/tex]
[tex]i \cdot 2 \pi = 0[/tex]

Ugler i mosen allerede. Bruker at hvis [tex]a+bi=c+di[/tex] må [tex]a=c[/tex] og [tex]b=d[/tex].

[tex]0 + 2 \pi i = 0 + 0 i[/tex]
[tex]2 \pi = 0[/tex]

Dette kan umulig stemme.

Nå er ikke jeg den rette til å utdype om dette i det vide og det brede, men problemet står forklart her.

Merk deg at [tex]e^{i \cdot 2\pi} = e^{i \cdot 0} = e^{-i 2 \pi} = e^{-i4\pi}[/tex] og så videre. Det er det at en kan uttrykke et komplekst tall på uendelig mange måter på polarform som skaper problemer.

Tenk på det litt som at [tex]\sin 2\pi = \sin 0[/tex], men man kan ikke ta [tex]\sin^{-1}[/tex] på begge sider og si at [tex]2\pi = 0[/tex].

uten at jeg er helt sikker, vil jeg tru feilen ligger her;

[tex]\ln(e^{i \cdot 2 \pi}) \neq i2\pi[/tex]

http://no.wikipedia.org/wiki/Logaritme
Se på kompleks logaritme, og branch cuts.

For et kompleks tall z, er lnz=ln(abs(z))+i*arg(z)

Det var akkurat noe sånt jeg mistenkte at var problemet. Takk for oppklaringen alle sammen.

Feilen er at kompleks logaritme er en multifunksjon.