matematikk.net

Jeg lurer på hvorfor en diagonalizable matrise må bestå av n lineært uavhengige egenvektorer. Her er teoremet:

http://bildr.no/view/886737

her er beviset som jeg ikke skjønner noe av

http://bildr.no/view/886739

og dette er teoremene de refererer til som sier at hvis determinanten til en matrise ikke er 0 må den bestå av lineært uavhengige vektorer

http://bildr.no/view/886740

http://bildr.no/view/886742

Vel, hva er diagonalisering? For en diagonaliserbar matrise [tex]A[/tex] er diagonaliseringen gitt ved

[tex]A=PDP^{-1}[/tex]

der D er en diagonalmatrise og P er inverterbar. Problemet er altså å finne P og D. Multipliserer vi til høyre med P får vi herfra

[tex]AP=PD[/tex]

Hvis vi nå kaller eigenvektorene til A for [tex]v_1,...v_n[/tex] og de tilhørende eigenverdiene for [tex]\lambda_1,...,\lambda_n[/tex] og tenker litt over hva matrisemultiplikasjon betyr, ser vi at Ps kolonner må bestå av As eigenvektorer og D må bestå av As eigenverdier. Ettersom vi forlangte at P skal være inverterbar, medfører dette at for å være diagonaliserbar må A ha n lineært uavhengige eigenvektorer.

Forstår du argumentasjonen her? Hvis ikke, hvor står du fast?

det som gjør at jeg blir usikker er en eksamensoppgave. Jeg skal prøve å forklare

Det er oppgave 8b her:

http://bildr.no/view/886354

Her er fasit:

http://bildr.no/view/887195

http://bildr.no/view/887194

I del to her sier de at Bv=0v siden

[tex]\lambda=0[/tex] er eneste egenverdi

Her snakker de om at B må bestå av lineært uavhengige vektorer men jeg trodde at et var P som måtte bestå av lineært uavhengige vektorer for at B skulle være diagonaliserbar. Det er jo P man tar inversen av? Hvorfor ser de på B for å finne ut om den er diagonaliserbar?

De sier da ingenting om vektorene til B. De snakker derimot om eigenvektorene til B.

Mot slutten diskuteres betingelsene for Bs diagonaliserberhet, men der brukes rangen til B, se prater ikke konkret om vektorene.

Naturligvis ser man på B. Det er jo den eneste matrisen vi har og forholde oss til. matrisen P finnes ikke engang med mindre vi har n lineært uavhengige eigenvektorer, så den kan vi ikke prate om. Vi vet jo ikke om den finnes, og det viser seg at generellt gjør det ikke som matriser av typen B.

ok:)

Der jeg faller av er

Først sier de for at B skal være diagonaliserbar må vi finne n lineært uavhengige egenvektorer. (Da tenker jeg egenvektorer til P og det er helt greit det er jeg med på)


Men så sier de:

Det betyr at null(B) er egenrommet til B tilhørende egenverdien 0

Hvor kommer Null(B). Det ville oppklare mye:)

Ser på Bx=0

og derfor ser man på nullrommet siden vektorene ganget med B skal gi 0

fra

Bv=0v

når lambda er 0. Og da må Bv og være 0. Og vi må ha n vektorer v som passer til Bv=0[/tex]

gill wrote: Først sier de for at B skal være diagonaliserbar må vi finne n lineært uavhengige egenvektorer. (Da tenker jeg egenvektorer til P og det er helt greit det er jeg med på)

Nope. Eigenvektorer til B. Du kan ikke snakke om P-matrisen før du vet om den finnes.

Som du påpeker kommer null(B) inn i bildet fordi 0 er en eigenverdi og vi har Bv=0v=0.

eigenvektorene som passer i ligningen

[tex]Bv=\lambda v[/tex]

sant?

Sånn sett siden man tar utgangspunkt i B for å finne

[tex]\lambda[/tex] som passer til B i ligningen og deretter løser ligning for komponenter til kolonnevektor v er v assosiert med B eller man må kjenne B for å finne v men v er ikke en vektor i B. Det er bare det jeg prøver å få klart for meg sjæl for å si det sånn for å få en litt mindre kronglete forståelse. Hvis ikke blir det mye baluba her

Du må i det minste ha noe informasjon om B for finne eigenvektorene dens. Hvis du vet at B er diagonaliserbar kan du enten oppgi B eller P og D-matrisene og få samme informasjon.

Det er litt vanskelig å tyde spørsmålet ditt. Du burde lese gjennom det du skriver før du poster innlegget ditt og passe på at det du skriver er lettlest og forståelig.