matematikk.net

Hei folkens!

Jeg trenger hjelp til delspørsmål e), er usikker på hvilken formel på side 45 i formelsamlingen min jeg skal bruke, (Gyldendahl). Jeg snakker altså om formlene for bestemt integral.


En funksjon er definert ved: [tex]$$f\left( x \right) = {e^x} + 3{e^{ - x}} - 4$$[/tex]

a) Regn ut koordinetene til bunnpunket til grafen f.
b) Regn ut funksjonens nullpunker.
c) Skissèr grafen til f.
d) Bestem likningen for normalen til grafen f i pinktet der x=1,50.

Normalen, grafen til f og x-aksen avgrenser et flatestykke F som i sin helhet ligger i første kvadrant.

e) Regn ut arealet til F.


Løsningsforslag:

a) [tex]$$\underline{\underline {\left( {0.55, - 0.53} \right)}} $$[/tex]

b) [tex]$$\underline{\underline {\left( {0,0} \right)\; \wedge \;\left( {1.1,0} \right)}} $$[/tex]

c) Henviser til grafen nedenfor.

d) [tex]$$\underline{\underline {y = - 0.26x + 1.54}} $$[/tex]

e)


Tenker jeg riktig her? Og i såfall hvilken formel skal jeg bruke? (Areal under grafer, Areal for grafer som ligger både over og under x-aksen, eller Areal mellom grafer).

Ja, jeg tolker det hvertfall også slik.

Ikke tenk så mye på alle formlene, prøv heller å se hvilke biter flaten består av og hvordan du kan finne arealet av disse. Kan du f.eks. finne arealet under normallinjen mellom y-aksen og punktet A? Er du med på at det arealet blir litt for stort? Ser du et areal du evt. kan trekke fra for å finne arealet av F?

Vurderer å skrive et innlegg om hvordan man finner arealet mellom og under grafer. For det første glem alt du har av formler.

Jeg mener at du har markert det riktige arealet F på tegningen din.

Hva skjer om du finner arealet under linja fra 0 til A ?

Bare tenk, ikke noe regning. Jo da vil du finne et areal som er litt for stort.
Den delen du ikke vil ha med er fra ln(3) til A. Kan du tenke noen måte å finne dette på?

Videre vil jeg heller oppgi svarene med eksakte verdier og ikke desimaltilnærminger. Dette er noe som kan slå ut på en eventuel eksamen.

Oppgi bunnpunktet som

[tex](\frac{1}{2}\ln(3) \, , \, 2\sqrt{3}-4)[/tex]

Oppgi nullpunktene som
[tex]x=0[/tex] og [tex]x=\ln(3)[/tex]

Osv.

Jeg fikk at arealet ble:

[tex]A \, = \, \frac{{15}}{2}{e^{ - 3/2}} + {e^{3/2}}\left( {\frac{1}{2} + \frac{9}{8}\frac{1}{{\left( {{e^3} - 3} \right)}}} \right) - 4\ln \left( 3 \right) + 2 \, \approx \, 1.81[/tex]

Hei Vektormannen og Nebu!

Tusen takk for svar, og ja jeg skal ta det til meg og ikke alltid støtte meg til formelsamling og kalkulator, det kan jo være en fordel å spørre seg selv før man spør kalkulatoren...

Nebuchadnezzar wrote:Vurderer å skrive et innlegg om hvordan man finner arealet mellom og under grafer. For det første glem alt du har av formler.

Jeg mener at du har markert det riktige arealet F på tegningen din.

Hva skjer om du finner arealet under linja fra 0 til A ?

Bare tenk, ikke noe regning. Jo da vil du finne et areal som er litt for stort.
Den delen du ikke vil ha med er fra ln(3) til A. Kan du tenke noen måte å finne dette på?

Videre vil jeg heller oppgi svarene med eksakte verdier og ikke desimaltilnærminger. Dette er noe som kan slå ut på en eventuel eksamen.

Oppgi bunnpunktet som

[tex](\frac{1}{2}\ln(3) \, , \, 2\sqrt{3}-4)[/tex]

Oppgi nullpunktene som
[tex]x=0[/tex] og [tex]x=\ln(3)[/tex]

Osv.

Jeg fikk at arealet ble:

[tex]A \, = \, \frac{{15}}{2}{e^{ - 3/2}} + {e^{3/2}}\left( {\frac{1}{2} + \frac{9}{8}\frac{1}{{\left( {{e^3} - 3} \right)}}} \right) - 4\ln \left( 3 \right) + 2 \, \approx \, 1.81[/tex]

1. Fant du eksaktverdiene ved regning eller ved bruk av kalkulator? (tipper ved regning... hehe) Brukte nemlig kalkulatoren når jeg skulle finne dem her, og den gir jo bare i desimaler. (or does it? )

2. Syntes: [tex]A \, = \, \frac{{15}}{2}{e^{ - 3/2}} + {e^{3/2}}\left( {\frac{1}{2} + \frac{9}{8}\frac{1}{{\left( {{e^3} - 3} \right)}}} \right) - 4\ln \left( 3 \right) + 2 \, \approx \, 1.81[/tex] var litt vanskelig å forstå.

Jeg må skrive følgende for å forstå noe: [tex]$$\int\limits_0^{1,5} {\left( { - 0.26x + 1.54} \right)} \;dx - \int\limits_{1,1}^{1,5} {\left( {{e^x} + 3{e^{ - x}} - 4} \right)} \;dx \approx \underline {1,81} $$[/tex]

3. Lag gjerne en tråd angående arealer under grafer, men jeg har endel om det i boken min. Så ikke jobb deg i hjel!

Nå skal det sies at det er ofte jeg selv regner med ca verdier. Men helst regn med eksakte verdier så lenge som det er tilrådelig. I dette tilfellet vil jeg si at du bør oppgi nullpunktene og bunnpunktet med eksakte verdier. Resten bør du ta på kalkulator. Litt stilig er jo det om man klarer hele regningen med eksakte tall, men det er en annen sak.

Eventuele ekstrakurrikulære aktiviteter tar jeg ETTER eksamen, hehe.

Bra du forstod dette da. Når man regner med oppgaver som har med funksjoner å gjøre. Deriverte, integraler, vendepunkt tangenter osv så er det veldig lurt å tegne. Og mener lærer sa at det er lov å støtte seg til grafen.

Bare husk at du skal kunne vise utregning på papir og.

Nebuchadnezzar wrote:Nå skal det sies at det er ofte jeg selv regner med ca verdier. Men helst regn med eksakte verdier så lenge som det er tilrådelig. I dette tilfellet vil jeg si at du bør oppgi nullpunktene og bunnpunktet med eksakte verdier. Resten bør du ta på kalkulator. Litt stilig er jo det om man klarer hele regningen med eksakte tall, men det er en annen sak.

Eventuele ekstrakurrikulære aktiviteter tar jeg ETTER eksamen, hehe.

Bra du forstod dette da. Når man regner med oppgaver som har med funksjoner å gjøre. Deriverte, integraler, vendepunkt tangenter osv så er det veldig lurt å tegne. Og mener lærer sa at det er lov å støtte seg til grafen.

Bare husk at du skal kunne vise utregning på papir og.

Kommentaren: "slik er det, og dette er fasiten. Henviser til Nebu ved mattematikk.net for utregning". Blir vel litt i tynneste laget når det kommer til å vise utregning... hehe.

Men, du fant altså eksaktverdiene ved vanlig regning? Dette virker kanskje som et teit spørsmål, men nå mener jeg vanlig regning og ikke Nebu regning. Den er nemlig til tider svært sofistikert.

Ha en fortsatt god ettermiddag Nebu, tusen takk for hjelpen!

Nå var jeg lat og bare definerte noen funksjoner i Maple13, før jeg plottet tingene jeg fant i geogebra, men jeg tenkte meg frem til fremgangsmåten for hånd. Kan jo bare vise nullpunkter, og toppunkter slik du vet det til neste gang.

Topp/Bunn/Saddelpunkt:

[tex]f\left( x \right) = {e^x} + 3{e^{ - x}} - 4[/tex]

Finner dette punktet ved å se på hvor stigningstallet er null. Setter den deriverte lik null, og løser for x.

[tex] \frac{d}{{dx}}f\left( x \right) = 0 [/tex]

[tex] {e^x} - 3{e^{ - x}} = 0 [/tex]

[tex] {e^{2x}} - 3 = 0 [/tex]

[tex] \underline{\underline{ x = \frac{1}{2}\ln 3 }} [/tex]

Så ser vi på y verdien

[tex] f\left( x \right) = {e^x} + 3{e^{ - x}} - 4 [/tex]

[tex] f\left( {\ln \sqrt 3 } \right) = {e^{\ln \sqrt 3 }} + 3{e^{ - \ln \sqrt 3 }} - 4 [/tex]

[tex] f\left( {\ln \sqrt 3 } \right) = \sqrt 3 + \frac{3}{{\sqrt 3 }} - 4 [/tex]

[tex] \underline{\underline {f\left( {\ln \sqrt 3 } \right) = 2\sqrt 3 - 4}} [/tex]

Om dette punktet er topp/bunn/saddelpunkt klarer du sikkert å tenke deg til selv.

Lar det være litt mellomrom som gir deg bittelitt tenkearbeid. Dette er dog gjort 100% for hånd ^^

Så tar vi for oss hvor funksjonen krysser x-aksen. Altså der [tex]f(x)=0[/tex]

[tex] f\left( x \right) = 0 [/tex]

[tex] {e^x} + 3{e^{ - x}} - 4 = 0 [/tex]

[tex] {e^{2x}} - 4{e^x} + 3 = 0 [/tex]

[tex] {u^2} - 4u + 3 = 0 [/tex]

[tex] \left( {{e^x} - 1} \right)\left( {{e^x} - 3} \right) = 0[/tex]

[tex] \underline{\underline{x = 0 \: \vee \: x = \ln \left( 3 \right) }} [/tex]