matematikk.net

Jeg bare har et lite spørsmål angående følgende oppgave:


Drøft det lineære systemet

[tex]x^\prime = ax + y[/tex]
[tex]y^\prime = -b^{2}x[/tex]

når [tex]b[/tex] er en positiv konstant og [tex]a[/tex] varierer innenfor de reelle tall.


Her har jeg tatt utgangspunkt i Jacobi-matrisen til systemet og får da at egenverdiene [tex]r[/tex] er gitt ved:

[tex]r = \frac{a \pm \sqrt{a^{2} - 4 b^{2}}}{2}[/tex]

Jeg vet selvsagt at dersom uttrykket under kvadratroten er negativt så har vi trajektorier rundt et spiralpunkt (som går vekk fra origo dersom [tex]a[/tex] er positiv og mot punktet dersom [tex]a[/tex] er negativ. Videre har vi, dersom [tex]a=0[/tex] et senterpunkt eller node. Dersom [tex]a^{2} = 4b^{2}[/tex] har vi node eller spiralpunkt.

Det jeg lurer litt på er dersom vi har at [tex]a^{2} > 4b^{2}[/tex]. Fasiten sier her at vi da vil få et sadelpunkt som er stabilt dersom [tex]a < 0[/tex] og ustablit dersom [tex]a > 0[/tex]. Mer enn dette skriver ikke fasiten.

Men er det ikke også mulig at vi her kan få en node også? Et sadelpunkt oppstår jo dersom de to egenverdiene har ulikt fortegn. Men hva om f.eks. [tex]a = 6[/tex] og [tex]b = 2[/tex]?. Da får vi at:

[tex]r=\frac{6 \pm \sqrt{20}}{2}[/tex] og da vil i så fall begge verdiene for [tex]r[/tex] være positive. Da har vi i så fall en asymptotisk ustabli node (og dersom vi f.eks. hadde satt [tex]a = -6[/tex] ville vi fått en asymptotisk stabil node).

Er fasiten m.a.o. mangelfull her? Setter stor pris på om noen kan bekrefte/avkrefte dette. Eventuelt påpeke om det er noe jeg ikke har tatt hensyn til i oppgaven.

Skulle mene at du har rett, med mindre det står noe mer om andre betingelser i fasiten.

Takk skal du ha. Godt å vite at jeg har rett . Skal ha eksamen i diff-ligninger på onsdag, så ble litt nervøs for at ikke stoffet sitter.

Det står forøvrig ikke noe mer i fasiten, men dette er en gammel eksamensoppgave, og fasiter til gamle eksamensoppgaver er av erfaring ikke helt til å stole på.

krje1980 wrote:Takk skal du ha. Godt å vite at jeg har rett . Skal ha eksamen i diff-ligninger på onsdag, så ble litt nervøs for at ikke stoffet sitter.

Det står forøvrig ikke noe mer i fasiten, men dette er en gammel eksamensoppgave, og fasiter til gamle eksamensoppgaver er av erfaring ikke helt til å stole på.

OK, lykke til på eksamen! Ingenting er mer irriterende enn feil i eksamensoppgaver og løsningsforslag.

OK, lykke til på eksamen! Ingenting er mer irriterende enn feil i eksamensoppgaver og løsningsforslag.

Takk igjen! Føler egentlig at jeg har stålkontroll på diff.ligninger, så det kommer nok til å gå bra . Jeg er litt mer nervøs for eksamenen i kompleks funksjonsteori tirsdag nest uke.

Ellers er jeg helt enig - feil i løsningsforslag kan være en enorm kilde til frustrasjon!

krje1980 wrote:Jeg er litt mer nervøs for eksamenen i kompleks funksjonsteori tirsdag nest uke.

Det er ingenting å være nervøs for - du har jo stålkontroll der også!

He he, takk . Jeg har oversikt over det meste, ja, men eksamensoppgavene i kompleks funksjonsteori har ofte nokså høy vanskelighetsgrad. Så selv om man kan pensum godt, så må man ha litt flaks på eksamensdagen også!