matematikk.net

Oppgaven er:
Finn rektangelet begrenset av ellipsen x^2+2y^2=1 som gir det maksimale arealet. Rektangelet har lengde 2x og bredde 2y.

Har prøvd å løse dette problemet med lagrangemultiplikator. Kommer ikke fram til noen fornuftig løsning. Noen som har et forslag til løsningsmetode?

har du noe fasitsvar her...

hva med;

[tex]A(x)=A=(2x)*(2y)=2x*\left(2\sqrt{0,5(1-x^2)}\right)[/tex]

[tex]A(x)=x*\left(\sqrt{1-x^2}\right)[/tex]

deriver så A(x), dvs[tex]\,\,A^,(x)=0[/tex]
dvs
[tex]x=\frac{\sqrt5 - 1}{2}[/tex]
der

[tex]A_{max}=A(\frac{\sqrt5 - 1}{2})[/tex]

Arealet av rektangelet er gitt ved:

[tex]A = 4xy[/tex]

Og begrensningene til arealet er gitt av ellipsen ved:

[tex]x^{2} + 2y^{2} = 1[/tex]

Vi kan løse dette gjennom bruk av Lagrange multiplier som følger:

Vi setter:

[tex]L(x, y, \lambda) = 4xy + \lambda(x^{2} + 2y^{2} - 1)[/tex]

Vi har da:

[tex] \frac{\partial L}{\partial x} = 4y + 2\lambda x = 0[/tex]

[tex] \frac{\partial L}{\partial y} = 4x + 4\lambda y = 0[/tex]

[tex] \frac{\partial L}{\partial \lambda} = x^{2} + 2y^{2} - 1 = 0[/tex]

Dette gir for [tex]\frac{\partial L}{\partial y}[/tex]:

[tex]4\lambda y = -4x[/tex]

[tex]\lambda y = -x[/tex]

[tex]\lambda = -\frac{x}{y}[/tex]

Setter inn i uttrykket for [tex]\frac{\partial L}{\partial x}[/tex]:

[tex]4y + 2(-\frac{x}{y})x = 0[/tex]

[tex]4y - \frac{2x^{2}}{y} = 0[/tex]

[tex]4y^{2} - 2x^{2} = 0[/tex]

[tex]x^{2} = 2y^{2}[/tex]

Dette kan vi så sette inn i uttrykket for [tex]\frac{\partial L}{\partial \lambda}[/tex]:

[tex]x^{2} + x^{2} = 1[/tex]

[tex]2x^{2} = 1[/tex]

[tex]x^{2} = \frac{1}{2}[/tex]

[tex]x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}[/tex]

I og med at vi her kun kan bruke positive verdier til den geometriske figuren har vi dermed at [tex]x = \frac{1}{\sqrt{2}}[/tex]. Vi setter dette inn i uttrykket [tex]x^{2} = 2y^{2}[/tex] og får da:

[tex]\frac{1}{2} = 2y^{2}[/tex]

[tex]y^{2} = \frac{1}{4}[/tex]

[tex]y = \pm \frac{1}{2}[/tex].

Igjen er det bare den positive verdien som gjelder. Altså har vi funnet at:

[tex]x = \frac{1}{\sqrt{2}}[/tex] og [tex]y = \frac{1}{2}[/tex]

Takk for svar!

Har et lite spørsmål til. Har en funksjon f(x,y). skal avgjøre om den eksitterer i (x,y)=(0,0). Når jeg sjekker langs linjer y=x får jeg at grensen går mot +-uendlig. Kan jeg da konkludere med at grensen ikke eksisterer?

Ja. Hvis grensen skal eksistere skal funksjonen gå mot ett og samme tall når (x,y) går mot (0,0).

ok. Takk for svar