Ja, du kan tenke på det som en "implicit surface" gitt ved ligningen [tex]z - \ln(x^2 + y^2) = 0[/tex], hvis dette hjelper deg.
Du kan også tenke på z som en parameterisert flate, der x og y er parameterene. Du er sikkert kjent med formelen for flateelementet dS for parameteriserte flater? Hvis du benytter at x og y er parametere og z = f(x,y) så får du akkurat det uttrykket som er oppgitt i fasiten. En utledning av dette er vist
her.
(Det gir jo også mening at [tex]d\sigma[/tex] bør være gitt ved [tex]\sqrt{1 + \left(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\right)^2}[/tex]. Hvis du har et flateelement [tex]d\sigma[/tex] med en projeksjon [tex]dA[/tex] i xy-planet, så vil forholdet mellom de to arealene være gitt ved [tex]\frac{dA}{d\sigma} = \cos \theta[/tex], der [tex]\theta[/tex] er vinkelen som [tex]d\sigma[/tex] er "tiltet opp" med i forhold til dA. Denne vinkelen vil vi finne igjen som vinkelen mellom normalvektoren til dA og [tex]d\sigma[/tex], det vil si vinkelen mellom [tex]\vec{n}[/tex] og [tex]\hat k[/tex]. Normalvektoren til flaten i punktet (x,y) er [tex]\vec{n} = (-f_1(x,y), -f_2(x,y), 1)[/tex]. Dette gir:
[tex]d\sigma = \frac{dA}{\cos \theta} = \frac{dA}{\frac{\vec{n} \cdot \hat k}{|\vec{n}|}} = \frac{dA |\vec{n}|}{\vec{n} \cdot \hat k}[/tex]. Men [tex]\vec{n} \cdot \hat k = 1[/tex], slik at
[tex]d\sigma = dA \cdot |\vec{n}| = \sqrt{1 + \left(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\right)^2} dx dy[/tex]