matematikk.net

jeg lurer på oppgave 5b:

http://bildr.no/view/891096

Her er fasit:

http://bildr.no/view/891114

Hvordan vet de at n går i feil vei og hvorfor trekker de fra hverandre de forskjellige curlsirkelintegralene?

jeg skjønner sammenhengen med dette og greens theorem bare at dette er i rommet. Det er vel der det stopper. Jeg lurer altså på den første løsningsmåten.

Dette står sikkert i boken din. Men tingen her er at orienteringen til flaten S bestemmer en orientering av randkurvene. En litt dårlig forklaring: Hvis du står på positiv side (utisden) av flaten S og beveger deg langs en av randkurvene i positiv retning, skal flaten ligge til venstre for deg.

Tenk deg flaten i oppgaven. Er du med på at hvis du står på flaten (altså normalt på flaten) og går langs randkurven i z = 0, i retning av økende t-verdi i parameteriseringen, så vil S ligge til venstre for deg? Da går du i positiv retning. Er du med på at hvis du står på flaten ved kurven i z = 3 og nå beveger deg i retning av økende t-verdi for parameteriseringen av denne, så vil flaten nå ligge på høyre side av deg? Da går du i negativ retning. Altså gir den parameteriseringen de har funnet av C2 feil orientering. Derfor setter de et minustegn foran (å sette et minustegn foran er det samme som å integrere langs kurven motsatt vei.) De kunne også ha funnet en annen parameterisering. F.eks. vil [tex]x = \sin t, y = \cos t[/tex] gi riktig orientering av kurven, og da skal det ikke noe minustegn foran.

Så jeg kan kalle dette en slags høyrehåndsregel? At hvis fingrene mine til høyre hånd peker i retning mot klokka skal n være dit tommelen min kan peke innover altså mot venstre side ligger overflaten. For meg virker det som i boka at de har definert integralretning som mot klokka og hvis overflaten ligger tilvvenstre når man går mot klokka er integralet positivt. Blir det riktig?

Orienteringen av kurven (og dermed integralretningen) er bestemt av orienteringen til flaten, ikke av noe annet. Normalvektoren peker ut fra flaten, eller som de sier i fasiten, ut fra, og ikke inn mot z-aksen. Dermed er positiv side utsiden av flaten. Da bestemmes kurveretningene som vist ovenfor. Om det er med eller mot klokka er ikke relevant -- det skal alltid være slik at når du går langs randkurven i positiv retning så skal positiv side av flaten ligge til venstre for deg.

Det blir ikke akkurat som en høyreregel, men litt av det samme prinsippet. Hvis du legger hånden langs med (og rundt i dette tllfellet) randkurven, så skal tommelen peke inn på overflaten.

curl er jo definert som å gå mot klokka når enhetsvektoren peker i positiv retning. Er det en forklaring for hvorfor sirkelintegralet går den veien?
For det inder sirkelintegralet når man regner ut curl vil man måtte gå den andre veien siden det ligger til høyre og motsatt retning av retningen definert for curl?
Som man ser for seg når man vet at curlintegralet fra Greens theorem er uendelig mange små firakanter av tetttheten til curl og de utligner hverandre fordi lille firkant av curl over den neste har motsatt retning på samme lille strek. Så kommer man helt opp til indre sirkel der vil øvre del av de små curlfirkantene ikke bli ulignet av en liten firkant av curl over derfor er retningen på curl på det indre sirkel integralet mot klokka siden man på indre del snakker om del av firkanten som går i motsatt reting (langs neg retning av x-akse i greens theorem) siden det er øvre del av firkanten mot ytre del hvor det er nedre del av firkanten som går den andre retningen.


Også lurer jeg på noe i alternativ 2 sin løsning. Hvorfor skriver de ikke om dA til en implicit surface. Arealet av den er vel større enn bare dA? Det ser ut som de finner normalvektor ved å ta gradienten til nivåfunksjonen hvis jeg ikke tar helt feil og prikker det med curl men hvorfor de integrerer over A skjønner jeg ikke

Det er en forutsetning for å bruke Stokes' teorem at randkurvene er orientert riktig vei i forhold til flaten. Jeg er ikke helt sikker på hva du mener, men det kan ha en del av forklaringen i det du sier.

Det de gjør i den alternative løsningen er akkurat det samme som du lurte på i den forrige tråden. Her "parameteriserer" de med x og y som parametere. I den forrige tråden så vi på et ganske likt tilfelle og da kom vi frem til at [tex]d\sigma = |\vec{n}| dA[/tex]. Det som kan være litt forvirrende er at de skriver [tex]\int \text{curl} G \cdot n \ d\sigma[/tex], men da er n en enhetsvektor. Da har vi at (der [tex]\hat n[/tex] nå betyr enhetsvektor) [tex]\text{curl} G \cdot \hat n d\sigma = \text{curl} G \cdot \hat n \cdot |\vec{n}| dA = \text{curl} G \cdot \vec{n} dx dy[/tex].

når jeg bruker implicit surface får jeg

[tex]d\sigma=\sqrt{4x^2+4y^2+1}[/tex]

og for meg virker det som om n=2y som de må ha med uansett og det samme med uttrykket for curl til G og da står jeg igjen med dA i fasiten som ikke blir det uttrykket jeg får ved implicit surface. Hvsa gjør jeg feil?

Du gjør ikke noe feil (utenom at du skal ha dx dy på slutten der da.) Nå gjenstår det jo bare å prikke curl G med enhetsnormalvektoren. Men for å finne enhetsnormalvektoren må du dele på vektorens lengde, og det er akkurat det uttrykket som inngår i [tex]d\sigma[/tex]. Så du vil kun stå igjen med [tex]\text{curl} G \cdot \vec{n} \ dx dy[/tex].

edit: mente vektor, ikke hatt.