matematikk.net

Oppgave 7b her:

http://bildr.no/view/890021

Her er fasit:

http://bildr.no/view/890019

curl til F=xi+yj+zk blir 0 fra defenisjon av kryssprodukt av nabla og F som er curl. Så sirkelintegralet bør uansett bli 0 som de vil finne her siden curl=0. Men jeg prøvde å regne ut sirkelintegralet ved parameterisering.

Først gikk jeg fra (1,0,0) til (0,2,0) altså lengde: (-1,2,0) og defienrte en vektor for dette:

r=-1ti+2tj+0tk=-ti+2tj Del av sirkelintegral blir

[tex]\int F\cdot \frac{dr}{dt}dt[/tex]

og jeg finner

[tex]\frac{dr}{dt}=-1i+2j[/tex]

Så må F ha samme retning som r og jeg skriver F som

F=-ti+2tj+0tk=-ti+2tj og finner intetralet for den strekningen med t fra 0 til 1 slik at det går opp for lengde tilbakelagt for r:

[tex]\int F\cdot \frac{dr}{dt}dt=\frac{5}{2}[/tex]

Samme gjorde jeg for de andre tre delene av trakanten og fikk sum av sirkelintegral til å være 14. Men curl er jo 0 så det skal jo ikke forekomme noe sirkulasjon i randen heller, og derfor bør svaret bli 0. Hva gjør jeg feil?

Parameteriseringen din av linjen er feil. Når t = 0 får du (0, 0, 0), og når t = 1 får du (-1, 2, 0). Det som er riktig er at retningsvektoren til linja er (-1, 2, 0). Men du har glemt å ta med at linjestykket starter i (1,0,0). Dermed blir parameteriseringen [tex]\vec{r}(t) = (1,0,0) + t(-1, 2, 0) = (1 - t, 2t, 0)[/tex]. Du har muligens gjort samme feil i de to andre også?

der hadde du helt rett

Og det ble 0 da