matematikk.net

Hei. Jeg hare bare et kort spørsmål relatert til følgende oppgave:

Choose a branch and find [tex]z[/tex] so that the equation [tex]log z = -1-i[/tex] is satisfied on the chosen branch.

OK, selve ligningen er veldig lett å løse vi har:

[tex]log z = -1-i[/tex]

[tex]e^{log z} = e^{-1-i}[/tex]

[tex]z = e^{-1-i}[/tex]

I fasiten har de her valgt grenen [tex]- \frac{\pi}{2} < \Theta < \frac{3\pi}{2}[/tex]

Mitt spørsmål - kunne man her også valgt f.eks. grenen:

[tex]0 < \Theta < 2\pi[/tex]? Hvis ikke, hvorfor det? Dette med grenkutt finner jeg litt forvirrende, så fint om noen kan forklare dette kort for meg.

Bruker du grenkuttet du foreslår vil jo vinkelen til [tex]z[/tex] være mellom [tex]0[/tex] og [tex]2\pi[/tex], og da blir imaginærdelen til [tex]\lg(z)[/tex] mellom [tex]0[/tex] og [tex]2\pi[/tex], og du kan således ikke oppnå en løsning på ligningen.

Tanken er å se på en kompleks funksjon [tex]f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}[/tex], [tex]f(z)=\lg(z)[/tex], og betrakte bildet av grenen under avbildningen [tex]f[/tex]. Siden [tex]-1-i[/tex] ikke ligger i bildet med det grenkuttet du foreslår, er en løsning ikke mulig.

Tusen takk! Er jo veldig logisk det du skriver