matematikk.net

Jeg lurer på oppgave 4a

http://wiki.math.ntnu.no/_media/tma4105 ... 05_06v.pdf

her er fasit

http://wiki.math.ntnu.no/_media/tma4105 ... 05_06v.pdf

Jeg sliter med å se for meg integrasjonsgrensene til z. Først fant jeg krysningspunktene ved å sette z for paraboloiden og sfæren lik hverandre. Fikk en fjerdegradsligning:

[tex]\frac{1}{9}r^4+r^2-4=0[/tex]

som jeg brukte at [tex]u=r^2[/tex] for å løse:

[tex]u^2+9u-36=0[/tex]

Fikk de to svarene [tex]r^2=3[/tex] og [tex]r^2=-12[/tex]

Her var jeg rimelig blank men et kompleks tall hørtes mystefistisk ut og jeg bare antok at [tex]r=\sqrt{3}[/tex] var eneste løsning. Stemmer det at man kan se bort fra komplekse løsninger i slike tilfeller som når man finner radius?

Så tenkte jeg at radiusen går fra 0 til [tex]r=\sqrt{3}[/tex] Hvis jeg skulle uttrykke z som funksjon av radius vil den starte med r=0 gå til [tex]r=\sqrt{3}[/tex] og slutte i r=0 igjen. Så da begynte jeg å lure på hvordan integrasjonsgrensene til r skulle være. Hvis man gikk fra r=0 til [tex]r=\sqrt{3}[/tex] så kommer man til skjæringspunktet sim jeg fant at var i z=1. Men for å komme fra z=1 til toppen av kula hvor z=2 så har r minket fra [tex]r=\sqrt{3}[/tex] til r=0 igjen. Jeg skjønner dermed ikke hvorfor integrasjonsgrensene for r kan gå fra 0 til [tex]r=\sqrt{3}[/tex] når

[tex]z=\frac{r^2}{3}[/tex] til [tex]z=\sqrt{4-r^2}[/tex]?

Jeg prøvde meg på to integral hvor z går fra [tex]z=\frac{r^2}{3}[/tex] til z=1 med r=0 til [tex]r=\sqrt{3}[/tex]

og et neste integral hvor z=1 til [tex]z=\frac{r^2}{3}[/tex]
og [tex]r=\sqrt{3}[/tex] til r=0

Hvorfor blir dette galt?

Du har tenkt helt riktig. Du kan se bort i fra den komplekse løsningen (av symmetrien i grafene ser vi jo at det kun vil være én og samme radius for skjæringssirkelen.)

Når det gjelder den andre problemstillingen din så har du langt på vei tenkt riktig (såvidt jeg kan se hvertfall), men jeg forstår ikke helt hva du mener med at r må gå fra 0 til [tex]\sqrt 3[/tex] og så tilbake igjen? Hvis vi ser på det siste integralet ditt, hvorfor mener du at r må gå fra [tex]\sqrt 3[/tex] til 0 og ikke omvendt? (Å gjøre dette vil føre til en fortegnsfeil siden dr blir negativ.)

Jeg kan forsøke å forklare hvordan de går frem i fasiten. Tanken her er at volumet vil være det vi får ved at vi deler opp projeksjonen av flatene i xy-planet (disken med radius [tex]\sqrt 3[/tex] og senter i origo) i små biter. På hver slik flatebit ganger vi arealet av denne med lengden det er fra den nedre flaten (paraboloiden) og opp til den øvre flaten (kuleskallet). Da får vi volumet av en tynn "søyle" som går fra paraboloiden og opp til kuleflaten. Så summerer vi opp alle slike tynne søyler ved å regne ut dobbeltintegralet over disken.

La oss si at du står i et punkt [tex](r, \theta)[/tex] på disken i xy-planet. Volumet av en tynn søyle i dette punktet finner vi ved å gange arealet [tex]r dr d\theta[/tex] med avstanden mellom flatene i dette punktet, som er gitt ved [tex]\int_{\frac{r^2}{3}}^{\sqrt{4-r^2}} dz[/tex]. Summen av alle slike søyler vil vi da finne ved å regne ut dobbeltintegralet over området: [tex]\int_0^{2\pi} \ \int_0^{\sqrt 3} \ \int_{\frac{r^2}{3}}^{\sqrt{4-r^2}} dz dr d\theta[/tex].

Jeg tenkte at begge måtte starte fra z=1 og der er jo

[tex]r=\sqrt{3}[/tex] så jeg tenkte vel at begge måtte starte fra der men jeg tror jeg skjønner. Hvis r går fra 0 til [tex]r=\sqrt{3}[/tex] for siste del og. Blir det sånn at man legger sammen arealutsnitt av kulen fra z=2 og ned til z=1 når man integrere for r? Og dermed får riktig fortegn som du påpeker? Jeg tenkte jo at man integrerte fra z=1 til 2 der og.

Er ikke sikker på om jeg er helt med på hva du mener med arealutsnitt? Du må ikke tenke på denne iterasjonen som at vi summerer opp tynne sirkulære flater i z-retning. Det er ikke det som skjer -- det som skjer her er som sagt at vi summerer opp tynne søyler som er parallelle med z-aksen, og som har lengde lik avstanden fra nedre til øvre flate.

Du kan selvfølgelig iterere annerledes. Hvis vi deler opp volumet i to deler, en del mellom z = 0 og z = 1, og en del mellom z = 1 og z =2, så kan vi summere opp tynne sylindere i z-retning. Da vil [tex]r = \sqrt{2z}[/tex] for den første biten (avgrenset av paraboloiden) og [tex]r = \sqrt{4-z^2}[/tex] for den andre biten. Da får vi:

[tex]V = \int_0^{2\pi} \ \int_0^1 \ \int_0^{\sqrt{3z}} r dr dz d\theta + \int_0^{2\pi} \ \int_1^2 \ \int_0^{\sqrt{4-z^2}} r dr dz d\theta[/tex]

ok. Jeg skjønner hva du mener:)

Men i det første forsøket mitt prøvde jeg å skifte på rekkefølgen av integrasjonsgrensene for r for det andre integralet altså for det første integralet
hvor z går fra [tex]z=\frac{r^2}{3}[/tex] til z=1 med r=0 til [tex]r=\sqrt{3}[/tex]

og det neste integral hvor z=1 til [tex]z=\sqrt{4-r^2}[/tex]
og r=0 til [tex]r=\sqrt{3}[/tex]

(ser at jeg skrev samme grense for øvre grense for dette som for det første integralet i det første innlegget. Har forandret det nå. Beklager for det)

Men jeg fikk da feil svar. Hva blir feil?

Det burde gi nøyaktig samme svar, siden [tex]\int_{\frac{r^2}{3}}^{1} dz \ + \ \int_{1}^{\sqrt{4-r^2}} \ dz = \ \int_{\frac{r^2}{3}}^{\sqrt{4-r^2}} dz[/tex]. Kanskje du har gjort noen slurvefeil?

Gjør et forsøk her og

[tex]\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{3}}\int_{\frac{r^2}{3}}^{1}dz r dr d\theta[/tex]

får

[tex]\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{3}}(1-\frac{r^2}{3}) r dr d\theta[/tex]

[tex]\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{2}r^2-\frac{r^4}{12}] d\theta[/tex]

med insatte grenser

[tex]\int_{0}^{2\pi}\frac{3}{2}-\frac{9}{12})=\frac{18}{12}-\frac{9}{12} d\theta[/tex]

ganger med [tex]2\pi[/tex] og får:

[tex]\frac{9}{6}\pi[/tex]

Det andre integralet

[tex]\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{3}}\int_{1}^{\sqrt{4-r^2}}dz r dr d\theta[/tex]

[tex]\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{3}}(\sqrt{4-r^2}-1) r dr d\theta[/tex]

[tex]\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{3}}\sqrt{4-r^2}r-r dr d\theta[/tex]

[tex]\sqrt{4-r^2}r[/tex] integrerte jeg ved hjelp av omvendt bruk av kjerneregelen:

[tex]\int\sqrt{4-r^2}r dr[/tex] [tex]u*=-2r[/tex] [tex]du=dru*[/tex]

[tex]\int\sqrt{u}\frac{r}{-2r} dr=\frac{u^{\frac{3}{2}}}{-2\frac{3}{2}}=\frac{u^{\frac{3}{2}}}{-3}=\frac{(4-r^2)^{\frac{3}{2}}}{-3}[/tex]

vi får da:

[tex]\int_{0}^{2\pi}\frac{(4-r^2)^{\frac{3}{2}}}{-3}-\frac{1}{2}r^2] d\theta[/tex]

setter inn grenser og får:

[tex]\int_{0}^{2\pi}-\frac{1}{3}-\frac{3}{2}-(-\frac{8}{3}-0) d\theta[/tex]

[tex]\int_{0}^{2\pi}\frac{5}{6} d\theta[/tex]

ganger med [tex]2\pi[/tex]

[tex]\frac{10\pi}{6}[/tex]

summen av disse to blir [tex]\frac{10}{6}\pi+\frac{9}{6}\pi=\frac{19}{6}\pi[/tex]. Fant feilen. Flotters.