matematikk.net

Jeg lurer på oppgave 5c

http://wiki.math.ntnu.no/_media/tma4105 ... 05_05v.pdf

og svaralternativ 1 her

http://wiki.math.ntnu.no/_media/tma4105 ... 05_05v.pdf

Hvordan kan gradienten til funksjonen f(x,y) gitt ved to variable altså ikke z-koordinater beskrive stigningstallet mot horisontalplanet? Altså blir grad f lik stigningstallet i forhold til retning av C i punktet gitt ved u mot horisontalplanet når ikke z-koordinat er med?

Husk på hva gradienten er. Det er en samling av informasjon om hvordan funksjonen endrer seg i x-retning, og hvordan den endrer seg i y-retning. Så totalt sett bør gradienten kunne si hvor mye funksjonen endrer seg i en hvilken som helst retning, og det er dette vi finner ved å regne ut retningsderiverte. Den retningsderiverte sier hvor mye funksjonen stiger når vi beveger oss én enhet langs den gitte retningen. Tangens til vinkelen vil være det samme som dette stigningstallet, akkurat som du sikkert har sett i envariabel-tilfeller. Det de gjør videre er å finne retningsvektoren de skal prikke gradienten med for å finne den retningsderiverte i riktig retning.

jeg må innrømme jeg ikke henger helt med. Hvis f(x,y) hadde vært en nivåflate hadde den alltid vært normal til overflaten. Men når den ikke er nivåflate trenger ikke gradienten å være normal til overflaten S. Hvordan vet man hva gradienten sier oss da når den ikke er til en nivåflate?

Gradientvektoren er [tex]\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)[/tex]. Den inneholder altså de deriverte av funksjonen i x- og y-retning. Lengden til x-komponenten er altså lik hvor mye funksjonen stiger langs x-retning i et punkt (x,y), og lengden til y-komponenten er lik hvor mye funksjonen stiger i y-retning i (x,y). Gradientvektoren er riktignok en vektor i xy-planet, men i lengden av komponentene ligger det informasjon om hvor mye funksjonen stiger! Det er dette som gjør at vi kan utlede ting som at gradientvektoren står normalt på nivåkurvene (merk: dette utledes fra egenskapene til gradientvektoren. Det er ikke en av de definerende egenskapene til gradientvektorene, og det er ikke det som er hovedpoenget med å definere gradientvektoren.)

Gradientvektoren må nødvendigvis peke i den retningen i xy-planet man må gå for at f skal endre seg mest mulig, og lengden av gradientvektoren må da gi hvor stor denne endringen er. (Dette mener jeg du har spurt noen spørsmål om før? Du kan jo se om du finner den tråden igjen.) Ut i fra dette utleder man f.eks. at gradienten står normalt på nivåkurvene. Siden gradienten peker i retningen hvor funksjonen stiger mest, må den stå normalt på nivåkurvene, siden retningen langs nivåkurvene er den hvor det er ingen endring (det er jo samme "nivå".) For å finne endringen i en annen retning benytter man den retningsderiverte, som det sikkert står om i boken din.