matematikk.net

Noen som kan hjelpe meg med denne?

På en tåkefylt dag kjører et ekspresstog med fart 108 km/h på en lang, rett strekning. Plutselig oppdager lokomotivføreren et godstog 300 m lenger framme. Godstoget holder toppfart 54 km/h i samme retning som ekspresstoget. Lokomotivføreren setter straks på bremsene som kan stanse ekspresstoget på 900 m. Vi regner at akselerasjonen er konstant. Vis at togene ikke kolliderer. Finn den minste avstanden det blir mellom togene. Du kan løse oppgaven med veigrafer eller ved regning.

Hvordan kommer jeg frem til at svaret er 75 m? (ifølge fasiten, minker avstanden så lenge ekspresstoget har størst fart)

Når ekspresstoget har størst fart, så minkar avstanden, noko me lett kan erkjenna, sidan den relative farten til ekspresstoget i forhold til godstoget då er positiv. Minimumsavstanden kjem altså når ekspresstoget har ein fart på 54 km/t.

Med jamn akselerasjon -a (a > 0) og med utgangsfart v, så har toget ein fart på v - at og har kome ein strekning vt - 0,5*at^2 etter tida t. Me held oss her til tid målt i timer, sidan farten er gjeve i timer. La distansen vera målt i kilometer.

Me må først finna ut akselerasjonen. Det vert gjort med utgangspunkt i opplysninga om når ekspresstoget stansar: vt - 0,5*at^2 = 0,9 for v - at = 0, dvs. for t = v/a. Me har då v^2/a - 0,5*v^2/a = 0,5v^2/a = 0,9, eller a = 0,5v^2/0,9 = 5v^2/9

Så finn me ut når ekspresstoget held ein fart på 54 km/t:
v - at = v/2 (merk at 108/54 = 2) for at = v/2, dvs. t = v/(2a) = 9/(10v).

Så gjeld det å finna ut kor langt toga har kome etter tida t. Ekspresstoget har køyrt s = v*9/(10v) - 0,5*5v^2/9 * 81/(100v^2) = 9/10 - (81*5)/(9*100*2) = 9/10 - 81/360 = 9*36/360 - 81/360 = 243/360 km

Godstoget har på si side køyrt (v/2)*9/(10v) = 9/20 = 162/360 km

Sidan godstoget har eit forsprang på 0,3 = 3/10 = 108/360 km i starten, så er godtoget då 270/360 km framme i sporet i forhold til der ekspresstoget starta, dvs. at den har eit forsprang på 27/360 km = 75 m. Med andre ord: 75 m er minimumsavstanden, og toga kolliderer naturlegvis ikkje.

For å undersøkja om du har forstått poenget: Dersom ekspresstoget hadde ein fart på 720 km/t og godstoget ein fart på 100 m/s, ville toga då kollidert? Viss ikkje, kva ville vore minimumsavstanden. [hint: rekn først om slik at me får same fartseining på toga]